Anneau abélien

Anneau abélien

Anneau commutatif

Dans la théorie des anneaux, un anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. Cela signifie que pour tous les éléments a et b de lanneau, on a a*b=b*a, en notant * cette loi de multiplication.

Létude des anneaux commutatifs sappelle lalgèbre commutative.

Sommaire

Histoire

Voir la théorie des anneaux

Exemples

  • Lexemple le plus important est lanneau des entiers muni des lois daddition et de multiplication ordinaires. La multiplication des entiers est commutative. Lanneau est souvent noté \mathbb{Z} dans la littérature en référence au mot allemand « Zahlen » (nombres),
  • Les nombres rationnels, les nombres réels et les nombres complexes forment des anneaux commutatifs, et même des corps commutatifs,
  • plus généralement, tout corps commutatif est un anneau commutatif, et ainsi la classe des corps commutatifs est une sous classe de la classe des anneaux commutatifs,
  • lun des exemples les plus simples danneaux non commutatifs, est lensemble des matrices carrées dordre 2 à coefficients réels. Par exemple, le produit des matrices
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}

nest pas égal au produit de ces mêmes matrices dans lordre inverse

\begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{pmatrix}
  • si n est un entier strictement positif, alors lensemble Z/nZ des classes de congruence modulo n est un anneau commutatif à n éléments.
  • si A est un anneau commutatif, alors les polynômes formels dindéterminée X à coefficients dans A forment un nouvel anneau commutatif, noté A[X],
  • de la même façon, l'ensemble des séries formelles, A[X1,...,Xn] sur un anneau commutatif A est un anneau commutatif. Si A est un corps commutatif, alors lanneau des séries formelles est un cas particulier danneau commutatif, appelé un anneau local,
  • lensemble des nombres rationnels dont le dénominateur est impair forme un anneau commutatif, et en fait un anneau local. Cet anneau contient strictement lanneau des entiers, et est lui-même un sous-ensemble propre du corps des rationnels,
  • si p est un nombre premier, alors lensemble des entiers de lensemble des nombre p-adiques est un anneau commutatif.

Construction dun nouvel anneau commutatif à partir dun anneau commutatif donné

  • Étant donné un anneau commutatif, A et un idéal I de A, lanneau quotient A/I est lensemble des classes modulo I munie des lois définies par (a+I)+(b+I)=(a+b)+I et (a+I)(b+I)=ab+I.
  • si A est un anneau commutatif donné, alors lensemble des polynômes A[X1,...,Xn] à coefficients dans A forme un nouvel anneau commutatif, appelé lanneau des polynômes en n indéterminées et à coefficients dans A ,
  • si A est un anneau commutatif donné, alors l'ensemble des séries formelles A[[X1,...,Xn]] à coefficients dans un anneau commutatif A, est appelé lanneau des séries formelles de n indéterminées à coefficients dans A,
  • si B est un sous-ensemble dun anneau commutatif A, qui na aucun diviseur de zéro et qui est stable pour la multiplication, cest-à-dire tel le produit de deux éléments quelconques de B appartienne à B, alors lensemble des fractions formelles (a, b) a est un élément quelconque de A et b est un élément quelconque de B forme un nouvel anneau commutatif; laddition, la soustraction, la multiplication et légalité étant définies sur ce nouvel ensemble de la même façon que pour les fractions ordinaires. Le nouvel anneau est noté AB et est appelé la localisation de A à B.
    Un exemple illustrant ce qui précède est la localisation de lanneau des nombres entiers au sous-ensemble des nombres entiers impairs stable par multiplication. Le corps des nombres rationnels est la localisation de lanneau commutatif des nombres entiers à lensemble stable par multiplication de nombres entiers non nuls.
  • si I est un idéal dun anneau commutatif A, les puissances de I forment un voisinage topologique de 0 ce qui permet à A dêtre considéré comme un anneau topologique. A peut être complété en conservant cette topologie. Par exemple, si \mathbb{K} est un corps, \mathbb{K}[[X]], lanneau des séries formelles en une indéterminée à coefficients dans \mathbb{K}, est le complété de lanneau \mathbb{K}[X] des polynômes à coefficients dans \mathbb{K}, sous la topologie produite par les puissances de l'idéal engendré par X.

Remarques générales

La structure interne d'un anneau commutatif est déterminée par la considération de ses idéaux. Tous les idéaux dans un anneau commutatif sont des idéaux des deux côtés (à droite et à gauche), ce qui rend leur utilisation beaucoup plus aisée que dans le cas général.

La structure externe d'un anneau commutatif est déterminée par des considérations d'algèbre linéaire sur cet anneau, c'est-à-dire en étudiant les modules sur cet anneau. Cette étude est sensiblement plus difficile quand lanneau commutatif nest pas un corps commutatif et sappelle habituellement lalgèbre homologique. Lensemble des idéaux dun anneau commutatif A peut être considéré comme lensemble des A-modules qui sont des sous-ensembles de A.

Les anneaux commutatifs sont parfois caractérisés par les éléments quils contiennent qui ont des propriétés particulières. Un élément neutre pour la multiplication dans un anneau commutatif appelé élément unité, est un élément particulier (habituellement noté 1) tel que pour tout élément a de lanneau, on ait 1 * a =a. Un anneau commutatif possédant un tel élément sappelle un anneau unifère, ou parfois anneau unitaire.

Un élément a dun anneau commutatif unifère est dit inversible sil possède un symétrique pour la multiplication, cest-à-dire sil existe un élément de b de lanneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a*b = b*a = 1. Tout élément non nul dun corps est un élément inversible. Tout élément dun anneau local commutatif nappartenant pas à lidéal maximal est inversible.

Un élément différent de zéro a dun anneau commutatif est dit diviseur de zéro, sil existe un élément non nul b de lanneau (pas nécessairement distinct de a) tel que a*b = 0. Un anneau commutatif unifère qui ne possède aucun diviseur de zéro est appelé un anneau intègre puisquil ressemble dune certaine façon à celui des nombres entiers.

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