Longueur d'un module

La longueur d'un module M sur un anneau A est un nombre entier, éventuellement infini, qui généralise d'une certaine manière la notion de dimension d'un espace vectoriel sur un corps k. Les modules de longueur finie ont beaucoup de particularités communes avec les espaces vectoriels de dimension finie.

Motivation

Les modules simples sont les modules M non nuls qui n'ont pas de sous-modules en dehors de ${0}$ et M. Ils sont d'ailleurs parfois appelés irréductibles. Par exemple, un espace vectoriel qui est simple en tant que module est une droite vectorielle, c'est-à-dire un espace vectoriel de dimension 1. Pour un module simple, il ne peut exister qu'une seule suite strictement croissante pour l'inclusion de sous-modules constituée de deux sous-modules :

$\{0\} \subsetneq M$

Les modules simples constituent en quelque sorte des entités faciles. Si pour un module M on peut trouver une suite strictement croissante de sous-modules $(M_k)_{0 \leq k \leq n}$ :

$M_0 = \{0\} \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1} \subsetneq M_n = M$

telle que pour tout $1 \leq k \leq n$ , le module quotient $M k / M k - 1$ est un module simple, alors on ne peut pas intercaler de sous-module dans cette suite tout en conservant des inclusions strictes. On dit que le A-module M est de longueur finie et que sa longueur, notée $\ell_A(M)$ , vaut n. Cette longueur est bien définie et elle concorde avec la définition donnée plus bas.

Un module simple est de longueur 1. Autre exemple : si E est un k-espace vectoriel de dimension finie, alors une telle suite est constituée de sous-espaces vectoriels $(E_k)_{0 \leq k}$ dont la dimension croît d'une unité à chaque étape. On parle alors de décomposition de l'espace vectoriel en drapeau :

$E_0 = \{0\} \subsetneq E_1 \subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1} \subsetneq E_n = E$

et dans ce cas $\dim_k E = \ell_k(E)$ .

Définition

La longueur d'un module M sur un anneau A, non nécessairement commutatif, est la borne supérieure de l'ensemble des entiers n telle qu'il existe une suite $M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n$ strictement croissante de sous-A-modules de M. On la note $\ell_A(M)$ , ou $\ell(M)$ pour ne pas surcharger les notations quand il ne fait aucun doute sur l'anneau des scalaires.

Exemples

Par définition, un module M est simple si et seulement s'il est de longueur 1.
Pour un espace vectoriel de dimension finie (ou ce qui est équivalent, de longueur finie), la longueur égale à la dimension.
L'anneau ℤ, considéré en tant que module sur lui-même, est de longueur infinie, en effet on peut considérer des suites de longueur arbitrairement grande :

$2^n \Z \subsetneq 2^{n-1} \Z \subsetneq \cdots \subsetneq 2 \Z \subsetneq \Z$

Le groupe cyclique ℤ/nℤ, comme ℤ-module, est de longueur le nombre de facteurs premiers de n comptés avec leurs ordres de multiplicité.

Propriétés

En ce qui concerne les modules de longueur finie, de nombreuses propriétés sont analogues à ce que l'on connaît pour les espaces vectoriels de dimension finie. Par exemple,

si M est un module de longueur finie, alors tout sous-module de M est de longueur finie;
si M est de longueur finie et si N est un sous-module de M de même longueur que M, alors $N = M$ ;
si M admet un sous-module de longueur finie N tel que le module quotient M/N soit aussi de longueur finie, alors M est de longueur finie et on a

$\ell(M) = \ell(N) + \ell(M/N)$ .

On en déduit une formule de Grassmann sur la longueur de sous-modules:

$\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)$

Par ailleurs, le théorème suivant donne une caractérisation des modules de longueur finie:

Un module est de longueur finie si et seulement s'il est artinien et noethérien.

Référence

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald (en), Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 6

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