Chemin (topologie)

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Points parcourus par un chemin de A à B dans R². Cependant, différents chemins peuvent parcourir le même ensemble de points.

En mathématiques, un chemin dans un espace topologique X est une application continue f de l'intervalle unité I = [0,1] dans X

f : I → X.

Le point initial du chemin est f(0) et le point final est f(1). On parle souvent de "chemin reliant x à y" où x et y sont les points initiaux et finaux du chemin. Il faut noter qu'un chemin n'est pas seulement un sous-ensemble de X qui "ressemble" à une courbe, mais comprend également un paramétrage. Par exemple, les applications f(x) = x et g(x) = x² représentent deux chemins différents de 0 à 1 sur la droite réelle $\mathbb{R}$ .

Un lacet dans un espace X basé au point x ∈ X est un chemin de x à x. Un lacet peut également être vu comme une application f : I → X avec f(0) = f(1) ou comme une application continue du cercle unité S¹ dans X

f : S¹ → X.

C'est parce que S¹ peut être regardé comme le quotient de I en identifiant 0 ∼ 1. L'ensemble de tous les lacets dans X forme l'espace appelé l'espace des lacets de X.

Un espace topologique pour lequel il existe un chemin reliant deux points quelconques est dit être connexe par arcs. Tout espace peut être divisé en un ensemble de composantes connexes par arcs. L'ensemble des composantes connexes par arcs d'un espace X est souvent noté π₀(X);.

Homotopie des chemins

Article principal : Homotopie.

Une homotopie entre deux chemins.

Les chemins et les lacets sont des sujets centraux d'étude pour la branche de la topologie algébrique appelée théorie de l'homotopie. Une homotopie de chemins rend précise la notion de déformation continue d'un chemin en laissant fixes les extrémités.

Plus précisément, une homotopie de chemins dans X est une famille de chemins f_t : I → X indexé par I telle que

f_t(0) = x₀ et f_t(1) = x₁ sont fixés.
l'application F : I × I → X définie par F(s, t) = f_t(s) est continue.

Les chemins f₀ et f₁ reliés par une homotopie sont dits homotopes. On peut également définir une homotopie de lacets laissant le point de base fixe.

La relation d'homotopie est une relation d'équivalence entre les chemins dans un espace topologique. La classe d'équivalence du chemin f pour cette relation est appelée la classe d'homotopie de f, et est souvent notée [f].

Composition des chemins

On peut composer des chemins dans un espace topologique d'une manière évidente. Soient f un chemin de x à y et g un chemin de y à z. Le chemin fg est défini comme le chemin obtainu en parcourant d'abord f et puis en parcourant g :

$fg(s) = \begin{cases}f(2s) & 0\leq s \leq \frac{1}{2} \\ g(2s-1) & \frac{1}{2} \leq s \leq 1.\end{cases}$

Évidemment la composition des chemins est seulement définie lorsque le point final de f coïncide avec le point initial de g. Si on considère tous les lacets basés au point x₀, alors la composition des chemins est une loi de composition interne.

La composition des chemins, ainsi définie, n'est pas associative à cause des différences dans la paramétrisation. Cependant elle est associative à homotopie près. C'est-à-dire, [(fg)h] = [f(gh)]. La composition des chemins possède une structure de groupe dans l'ensemble des classes d'homotopie des lacets basés en un point x₀ in X. Le groupe résultant est appelé le groupe fondamental de X au point x₀, habituellement noté π₁(X,x₀).

Chemins de classe $\mathcal{C}^k$ : un chemin peut être de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N$ . En fait tout chemin est de classe $\mathcal{C}^0$ c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N^*$ sera dit de plus régulier si $\gamma ' (t) \neq 0$ pour tout $t \in [0,1]$ . Un chemin régulier de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ est dit chemin lisse.

Chemins dans un espace vectoriel normé

Dans le cas où l'espace ambiant $E$ est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire $\gamma(t) = x + t \vec{u}$ pour tout $t \in [0,1]$ . Le vecteur $\vec{u}$ est appelé vecteur directeur de $γ$ . Le support du chemin est alors un segment de droite.

Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.

Chemins de classe $\mathcal{C}^k$ : un chemin peut être de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N$ . En fait tout chemin est de classe $\mathcal{C}^0$ c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe $\mathcal{C}^k$ avec $k \in \N^*$ sera dit de plus régulier si $\gamma ' (t) \neq 0$ pour tout $t \in [0,1]$ . Un chemin régulier de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ est dit chemin lisse.

Bibliographie

(en) Ronald Brown (en), Topology and groupoids, Booksurge PLC, 2006
(en) J. Peter May (en), A concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, 1999
(en) James Munkres (en), Topology, 2^e éd., Prentice Hall, 2000

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Path (topology) » (voir la liste des auteurs)

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