Indice (analyse complexe)

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Un point z0 et une courbe C

Indice d'un point par rapport à un lacet

La définition la plus générale de l'indice (qui permet de définir l'indice d'un lacet dans le cas "continu" et pas seulement dans le cas "différentiable par morceaux") utilise la propriété de relèvement des chemins dans le revêtement universel réalisé par l'exponentielle complexe.

Si \gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{C}^{*} est un lacet (chemin continu tel que γ(a) = γ(b)) dans le plan complexe privé de l'origine, il existe un relèvement (non unique) {\tilde{\gamma}}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} de γ à travers l'exponentielle complexe, c'est-à-dire un chemin \tilde{\gamma}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} tel que \gamma = e^{\tilde{\gamma}}. La quantité

\frac{1}{2\mathrm{i}\pi} (\tilde{\gamma}(b) - \tilde{\gamma}(a))

ne dépend pas du relèvement \tilde{\gamma} choisi et s'appelle l'indice de γ par rapport à 0; elle correspond au "nombre de tours" comptés algébriquement (c'est-à-dire en tenant compte du sens de parcours) que fait le lacet autour de l'origine. En effet, \tilde{\gamma}: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} apparaît comme un "logarithme" du lacet γ et donc (\tilde{\gamma}(b) - \tilde{\gamma}(a)) correspond à la différence des valeurs de la partie imaginaire du logarithme complexe, c'est-à-dire une fonction argument.

Si maintenant \gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{C} est un lacet quelconque et z un nombre complexe n'appartenant pas à l'image \gamma([a,b]) \subset \mathbb{C} de γ , l'indice de z par rapport à γ, noté \operatorname{Ind}_{\gamma} (z), est l'indice par rapport à 0 du lacet γ − z. Cette définition de l'indice fait clairement apparaître cette quantité comme un cas particulier du degré de l'application de Gauss en topologie.

Lorsque que le lacet γ est différentiable par morceaux, l'indice s'exprime sous forme d'une intégrale:

\operatorname{Ind}_{\gamma} (z) =\frac{1}{2 \mathrm{i} \pi} \int_{\gamma} \frac{\mathrm d \zeta}{\zeta - z} \; .

Propriétés

En notant \Omega = \mathbb{C} \smallsetminus \gamma([a,b])), on a que z \rightarrow \operatorname{Ind}_{\gamma} (z) est une fonction à valeurs entières sur Ω, constante sur les composantes connexes de Ω, et nulle sur la composante non bornée de Ω. Ces valeurs entières correspondent au nombre de tours effectués par le lacet autour du point z.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Indice (analyse complexe) de Wikipédia en français (auteurs)

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