Indice d'un lacet

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Lacet (mathématiques)

En mathématiques, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est une courbe continue et fermée, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. La notion de lacet est utile en analyse complexe et en topologie.

Définitions

Si X est un espace topologique, on appelle lacet sur X toute application continue \gamma \, : \, [0,1] \rightarrow X telle que γ(0) = γ(1).

Autres définitions :

  • Un lacet sur X est un chemin sur X dont l'extrémité est confondue avec l'origine.
  • Un lacet sur X est une application continue de S1 vers X (où S1 dénote le cercle unité \{ z \in \mathbb{C} \mid |z|=1 \}).

En analyse complexe on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des courbes rectifiables.

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique, soit que a est égal à b, soit que a et b sont égaux à 0 et à 1. Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe Ck (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas X=\mathbb{C}, on peut définir l'indice I(γ,z0) d'un lacet γ par rapport à un point z_0\in\mathbb{C} \smallsetminus \gamma([0, 1]) : il correspond au nombre (entier algébrique) de tours effectués par le lacet autour de ce point.

On peut l'obtenir en calculant :

\operatorname{I}(\gamma, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{\mathrm dz}{z-z_0}

Voir aussi

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