- Formule intégrale de Cauchy
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La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.
Sommaire
Expression
Supposons que U soit un ouvert connexe du plan complexe , que soit une fonction holomorphe sur U. Soit γ un chemin fermé inclus dans U, soit enfin z n'appartenant pas à ce chemin. On a alors la formule suivante:
où Indγ(z) désigne l'indice du point z par rapport au chemin γ. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où γ est un cercle C orienté positivement, contenant z et inclus dans U. En effet, l'indice de z par rapport à C vaut alors 1, d'où :
Principale conséquence
Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit , r > 0 tel que.
Soit , et γ le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par .
On a pour tout : ,
ce qui prouve la convergence uniforme sur [0,2π] de la série de terme général vers,
et comme est continue sur [0,2π] compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série
sur [0,2π],
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r):- avec
et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.
On remarque aussi que, en donnant une expression aux coefficients du développement de f, cette formule explicite les dérivées n-ièmes de f en a:
- .
Démonstration de la formule
Pour montrer la formule en un z0 donné, on définit une fonction g par :
Cette fonction g est holomorphe sur U.En effet, g est clairement holomorphe sur U privé de z0. De plus,
- tend vers f''(z0) lorsque z tend vers z0, donc g est aussi holomorphe en z0.
Il suffit alors de lui appliquer le théorème intégral de Cauchy et de développer le résultat obtenu.
Autres conséquences
Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le principe du maximum et le théorème des résidus.
Article connexe
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Catégories :- Analyse complexe
- Théorie de l'intégration
- Théorème d'analyse
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