- Intégrale Curviligne
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Intégrale curviligne
En mathématiques, l'intégrale curviligne est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée sur une courbe.
Sommaire
Analyse complexe
L'intégrale curviligne est un des outils de base de l'analyse complexe. Si U est un ouvert du plan complexe, f une fonction continue de U dans C et γ un arc paramétré continûment dérivable tracé de [a,b] dans U on définit l'intégrale de f le long de γ en écrivant une intégrale de variable réelle
Lorsque γ est une courbe fermée (ses deux extrémités coïncident) il arrive qu'on utilise la notation suivante
Exemple
Soit la fonction f(z)=1/z, et soit C le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique, ce qui peut se paramétrer par eit, avec t parcourant [0, 2π]. L'intégrale correspondante est
Extension aux arcs rectifiables
Plus généralement, si γ est un arc rectifiable, on peut définir l'intégrale curviligne
en introduisant une subdivision de segment [a,b] de la forme a = t0 < t1 < ... < tn = b et en cherchant la limite des expressions de la forme
lorsque la subdivision a ses longueurs qui tendent vers 0.
Propriétés
Les propriétés fondamentales des intégrales curvilignes sont le théorème intégral de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy, qui permettent d'établir le théorème des résidus.
Analyse vectorielle
Pour un champ scalaire , l'intégrale curviligne le long de la courbe Γ, paramétrée par r(t) avec est définie par :
De plus la longueur L de l'arc Γ est donnée par:
- .
De même pour un champ vectoriel la circulation le long de la courbe Γ, paramétrée par r(t) avec est définie par :
Voir aussi
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