Fonction étagée

Fonction étagée

En mathématiques et en analyse :

Dans les trois acceptations, chacune de ces fonctions peut s’exprimer comme une combinaison linéaire (donc finie) de fonctions caractéristiques.

Ces fonctions jouent un rôle important en théorie de l'intégration :

Sommaire

Propriété caractéristique commune

Propriété — Une fonction est simple si et seulement si elle est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques.

Preuve

Nécessité :

Soit f une fonction simple et ak les n valeurs qu’elle peut prendre. Notons Ak l'image inverse de ak, soit Ak = f − 1(ak). Puisque les Ak sont 2 à 2 disjoints, alors pour tout x dans le domaine de définition de f :

f(x) = \sum_{k=1}^N a_k 1_{A_k}(x).

Pour les fonction étagées, on note que Ak est mesurable puisque f est supposée l’être.


Suffisance :

Soient n ensembles Bk et une fonction f définie par la relation

f(x) = \sum_{k=1}^N b_k 1_{B_k}(x)

où les n valeurs bk sont données.

Puisque x peut appartenir simultanément à plusieurs Bk (lorsque les intersections sont non vides), le nombre de valeurs distinctes que peut prendre f est limité par 2n. Ainsi f est une fonction simple.

Pour les fonctions simples (respectivement étagée, en escalier), les propriétés suivantes découlent de la définition et de la propriété précédente :

  • La somme, le produit de deux fonctions simples, le produit d'une fonction simple par un réel (ou un complexe), sont encore des fonctions simples.
  • Une fonction simple est une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de la forme
f(x)=\sum_{k=1}^n a_k \ {\mathbf 1}_{A_k}(x)
où A_1, ..., A_n \ est une suite finie d'ensembles et a_1, ..., a_n \ est une suite finie de valeurs dans \R (ou \C).
  • Parmi les diverses représentations possibles exprimées à l’aide de la relation précédente, il en existe une particulière (qualifiée de canonique) pour laquelle[1]
    • les ensembles Ak sont 2 à 2 disjoints,
    • les valeurs ak sont distinctes,
    • n = 0 si et seulement si f = 0.
  • Pour une fonction étagée, donc mesurable et définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A},\mu), les ensembles Ak de la représentation canonique sont mesurables.

Densité des fonctions étagées

Théorème — 

  1. L'ensemble des fonctions étagées est dense dans l'ensemble des fonctions mesurables : toute fonction mesurable est une limite simple de fonctions étagées.
  2. Toute fonction mesurable et bornée est une limite uniforme de fonctions étagées.
Démonstration

1.A Pour les fonctions positives :

Soit f une fonction définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A},\mu), supposée mesurable et positive. Pour tout n \in \mathbb N, l'intervalle [0, \, \infty[ \, = [0, \, 2^n[ \,\cup \,[2^n, \, \infty[ (contenant donc l’image de f) est partagé en N = 2^{2n}+1 \, sous-intervalles définis par

I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n}\right[ pour 1 \leqslant k \leqslant N-1 et
I_{n,N}=[2^n, \infty[.

On définit les ensembles mesurables A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}) \, pour 1 \leqslant k \leqslant N.

On remarque alors que la suite croissante de fonctions

f_n=\sum_{k=1}^{N} \frac{k-1}{2^n} \ {\mathbf 1}_{A_{n,k}}

converge simplement vers f lorsque n tend vers \infty.


1.B Pour toute fonction mesurable :

Une fonction mesurable f se décompose en une différence de deux fonctions mesurables g et h positives satisfaisant f(x) = g(x) − h(x). La suite gn − hn converge simplement vers f si les suites gn et hn convergent respectivement vers g et h.


2. Convergence uniforme :

Pour une fonction f positive et bornée par y > 0, la construction élaborée sous 1.A permet d’affirmer que

|f(x) - f_n(x)| \leqslant 2^{-n} dès que 2n > y. La convergence uniforme est donc satisfaite.


Pour une fonction f bornée quelconque, la décomposition présentée sous 1.B permet de conclure.

Intégration d'une fonction étagée

En théorie de la mesure, définir l'intégrale d'une fonction étagée est l’une des premières étapes conduisant à la définition de l'intégrale par rapport à une mesure.

Soit une mesure μ définie sur un espace mesurable (X, {\mathcal A}). Pour tout A \in \mathcal{A}\ , on définit

\int \,\chi_A\,d\mu = \mu(A).

Pour une fonction étagée f(x) = \sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x), la linéarité de l'intégrale impose la relation suivante :

\int\,f\,d\mu=\sum_{k=1}^na_k \ \mu(A_k).

Pour accorder à cette relation le statut de définition, il convient de s’assurer de sa consistance en vérifiant que l’intégrale d’une fonction étagée est indépendante de sa représentation sous forme de combinaison linéaire de fonctions caractéristiques[2].

Preuve

Il suffit de montrer que l’intégrale évaluée à l’aide d’une représentation quelconque est la même que celle obtenue à l’aide de la représentation canonique (soit celle pour laquelle les ensembles sont 2 à 2 disjoints et les valeurs distinctes).

La principale difficulté vient des recouvrements possibles entre les ensembles dont sont issus les fonctions caractéristiques.

  • L’idée consiste à transformer une représentation générale en une représentation basée sur d’autres ensembles caractéristiques 2 à 2 disjoints, puis à montrer que ce procédé n’affecte pas l’intégrale.
  • Pour la dernière étape (ensembles 2 à 2 disjoints vs représentation canonique), il suffit de réunir les ensembles disjoints sur lesquels une même valeur a été attribuée : l’intégrale reste évidemment la même.


Soit une représentation générale d’une fonction étagée

f(x) = \sum_{i=1}^m b_i {\mathbf 1}_{B_i}(x)

avec m > 0 et en supposant que B_i \neq B_j si i \neq j (il suffit de sommer les bi correspondant à des Bi égaux, le cas échéant).

Définissons la fonction \psi (x) \ par la relation

\psi (x) = \sum_{i=1}^m 2^i \ {\mathbf 1}_{B_i}(x),

puis son image (un ensemble fini) par les \{ \psi_j | 0 \leqslant j \leqslant n\} avec \psi_0 = 0 \ , et enfin les ensembles correspondant aux images inverses, soit :

A_j = \psi^{-1}(\{\psi_j \}) \

où A_0 \ est l’ensemble complémentaire de \cup_i B_i.

Les A_j \ sont disjoints 2 à 2 et, puisque ψ(x) est mesurable, ils le sont également.

Remarque : \psi \ est précisément construite de sorte que, pour tout x \ , la valeur \psi (x) \ permet de déduire exactement quels sont les ensembles B_i \ contenant x \ . Le seul intérêt de la forme donnée ici est de répondre à cet objectif.


Montrons que les A_j \ sont des candidats pour la transformation annoncée plus haut.

Définissons les ensembles :

J_i = \{ j | A_j \cap B_i \neq \varnothing \} et I_j = \{ i | A_j \cap B_i \neq \varnothing \},

puis les valeurs a_j \ associées aux A_j \ par

a_j = \sum_{i \in I_j} b_i.

On vérifie successivement :

  • A_j \subset B_i si A_j \cap B_i \neq \varnothing ,
  • B_i = \cup_{j \in J_i} \ A_j.

Il en découle

\sum_i b_i \ \mu (B_i) = \sum_i \sum_{j \in J_i} b_i \ \mu (A_j) ,
\sum_j a_j \ \mu (A_j) = \sum_j \sum_{i \in I_j} b_i \ \mu (A_j) ,

et il suffit de constater que les deux membres de droite sont égaux pour conclure.

Intégrale d’une fonction en escalier sur un segment

Les fonctions étagées sont à la théorie de l'intégration de Lebesgue ce que les fonctions en escalier sont à l'intégration de Riemann ou de Kurzweil-Henstock.

Par exemple, dans le cas particulier où \scriptstyle\ A_1,....,A_n sont des intervalles contigus de même longueur Δ, et où les \scriptstyle\ a_i sont les évaluations d'une fonction \scriptstyle\ g au centre des intervalles \scriptstyle\ A_i, l'expression \scriptstyle\ I_n = \Delta \sum_{i=1}^n a_i\ est appelée somme de Riemann[3].

Généralement présentées sur un intervalle donné, les fonctions en escaliers peuvent être prolongées par 0 sur \R entier, ce qui permet de s’affranchir de l’intervalle et de considérer un unique ensemble de fonctions.

Notes (et références)

  1. ↑ Pour une fonction en escalier, les ensembles Ak sont l’union d’un nombre fini d’intervalles.
  2. ↑ Certains auteurs définissent les fonction étagées comme étant celles dont les ensembles caractéristiques sont disjoints (comme les fonctions en escalier) : la propriété précédente est plus simple à vérifier, mais plus complexe est la preuve qu’elles forment un espace vectoriel.
  3. ↑ \scriptstyle\ I_n est d’ailleurs une approximation (trop) couramment utilisée pour le calcul numérique d'une intégrale.

Voir aussi


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