Fonction échelon de Heaviside

Fonction de Heaviside

La fonction H_0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction de l'anglais step, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction H discontinue prenant la valeur 0 pour tous les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

$\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0. \end{matrix}\right.$

C'est une primitive de la fonction δ de Dirac en théorie des distributions. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autres H(0) = 1. La valeur H(0) = 0,5 est souvent utilisé, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique. La définition est alors :

$\forall x \in \R,\ H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0. \end{matrix}\right.$

La valeur de la fonction en 0 est parfois notée avec un indice : la fonction H_0,5 satisfait l'équation H_0,5(0) = 0,5.

La fonction est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Dérivée

La dérivée de la fonction de Heaviside peut être calculée formellement au sens des distributions, par la méthode suivante :

Nous partons tout d'abord de l'expression de la dérivation au sens des distributions :

$< H'(x),φ(x) > = - < H (x),φ'(x) >$

En appliquant ceci à l'échelon de Heaviside, nous obtenons :

$<H'(x),\phi(x)> = -\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)\phi'(x)\mathrm{d}x$

Une primitive de $φ'(x)$ est $φ(x)$ .

Nous avons alors :

$<H'(x),\phi(x)> = -\int_{0}^{+\infty}\phi'(x)\mathrm{d}x = - \lim_{x\to\infty}\phi(x) + \phi(0)$

Or, $\phi \in\mathcal{D}$ , l'espace des fonctions test sur $\mathbb{R}$ , donc $\lim_{x\to\infty}\phi(x) = 0$

D'où on déduit l'expression formelle de la dérivée de l'échelon de Heaviside :

$< H'(x),φ(x) > = φ(0) = < δ(x),φ(x) >$

, par définition de l'impulsion de Dirac, $δ(x)$ .

Primitive

Une primitive de la fonction de Heaviside est donnée par $x\mapsto xH(x)$ . En effet, la dérivation de cette expression s'écrit :

$\forall x \in \R,\ \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(xH(x))=H(x)+x\delta_0$

avec $x δ 0 = 0$ .

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