Fonction êta de Dedekind

La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe $τ$ dans cet ensemble, on définit $q = e 2 i πτ$ et la fonction êta est alors : $\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les équations fonctionnelles :

η(τ + 1) = exp(2π i / 24)η(τ)

$\eta(-1/\tau) = \sqrt {-i\tau} \eta(\tau)$

Plus généralement,

$\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) = \epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(\tau)$

où a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right)$

où s(h,k) est la somme de Dedekind

$s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)$

A cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass peut être défini comme

Δ(τ) = (2π) 12 η(τ) 24

La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dedekind eta function » (voir la liste des auteurs)
Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
(en) Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 Voir chapitre 3.

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