Espace métrique

En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique. On appelle espace métrisable un espace topologique homéomorphe à un espace métrique.

L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

La classe d'isométrie d'un espace métrique (c'est-à-dire l'ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d'homéomorphie. Par exemple un carré, un triangle, un cercle et n'importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d'information sur la forme géométrique des objets qu'une simple structure topologique ; ce qui n'a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle.

Définitions

On appelle (E, d) un espace métrique si E est un ensemble non vide, et d une distance sur E.
On appelle distance sur un ensemble E, une application d de $E 2$ dans $\R^+$ telle que :

$\forall x,y\in E, d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie) ;
$\forall x,y\in E, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (séparation) ;
$\forall x,y,z\in E, d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire).

On appelle boule ouverte (resp. fermée) centrée en un point a de E et de rayon r (un élément de $\R^+$ ), l'ensemble des points x situés à une distance de a strictement plus petite que r (resp. inférieure ou égale à r) : $B(a,r)=\{x\in E\mid d(x,a)<r \}$ , $\mathcal{B}_f(a,r)=\left\{x\in E\,\mid\,d(x,a)\leq r\right\}$ .

On appelle ouvert de E, tout ensemble U tel que pour tout x de U, il existe une boule ouverte de centre x, de rayon non nul, et incluse dans U : $U \subset E\ \mathrm{ouvert\ de }\ E \Longleftrightarrow \forall x \in U,\ \exists r>0,\ B(x,r) \subset U$ . L'ensemble de ces ouverts constitue alors une topologie sur E, dite « topologie induite par la distance » d. Un espace topologique est dit métrisable s'il existe une distance induisant sa topologie ; cette distance n'est jamais unique. Les notions de boule, de borné (c'est-à-dire inclus dans une boule), de suite de Cauchy, de continuité uniforme, etc. ne sont pas des notions topologiques mais métriques, susceptibles de varier selon la distance choisie. Dans cette topologie, les voisinages d'un point sont tous les sous-ensembles contenant une boule ouverte centrée sur ce point. La topologie usuelle sur la droite (des nombres réels), le plan, etc. sont des exemples de topologies métrisables.

Remarques

Une boule fermée B_f(a, r) de centre a et de rayon r est un fermé (pour la topologie associée à la distance). La notation $\scriptstyle{\overline{B}(a,r)}$ est également utilisée mais ambigüe, car l'adhérence de B(a, r) est parfois strictement incluse dans B_f(a, r), même pour r >0.

Pour toute partie non vide A de E, l'application qui à tout point x de E associe la distance de x à A (c'est-à-dire l'inf des distances de x à tous les points de A) est continue, car 1-lipschitzienne. Les x en lesquels elle s'annule sont les points adhérents à A.

Tout espace topologique métrisable est séparé. Il vérifie même une propriété de séparation beaucoup plus forte : c'est un espace parfaitement normal, c'est-à-dire que tous les singletons sont fermés et que tout fermé est le lieu d'annulation d'une fonction continue (la fonction qui à tout point associe sa distance à ce fermé). En particulier, c'est un espace normal.

Exemples

Une norme N induit de manière naturelle une distance d(x,y) = N(x-y).
La distance triviale (ou encore distance discrète ou métrique discrète) : sur un ensemble non vide, on décide que la distance entre deux points distincts est 1 (d(x,y) = 1 pour tout x différent de y et d(x,x) = 0). Avec une telle distance, on vérifie aisément que la topologie est alors l'ensemble des parties de E, c'est-à-dire que toute partie F de E est ouverte.
Les espaces topologiques R et ]0,1[ sont homéomorphes, mais munis des distances usuelles, ils ne sont pas isomorphes en tant qu'espaces métriques ; par exemple R est complet mais ]0,1[ ne l'est pas.
Si on munit R₊ de la distance d(x,y)=|e^x- e^y|, on retrouve la topologie usuelle sur R₊ mais maintenant toutes les fonctions polynômes sont uniformément continues.
La distance aux échecs permet de connaître le nombre de coups nécessaire au jeu d'échecs pour aller avec le roi d'une case x₁, y₁ à une case x₂, y₂ et se définit par $D_{Echec} = \max \left ( \left | \left ( x_2 - x_1 \right) \right | , \left | \left ( y_2 - y_1 \right ) \right | \right )$
La distance de Manhattan : dans le plan $\R^2:d(a,b)=|x_b-x_a|+|y_b-y_a|$ . C'est la distance induite par la norme 1.
La distance de Hamming est utilisée en théorie des codes correcteurs.

Produit d'espaces métriques

Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques peut être muni d'une distance qui induit la structure uniforme produit et a fortiori la topologie produit : pour cela, si les $(E k, d k)$ $(k\in\N)$ sont des espaces métriques, on peut par exemple munir $E_1\times\ldots\times E_n$ de la distance $d N$ définie par

$d_N\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big)=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big),$

où N est une norme arbitraire sur $\R^n$ et munir $\prod_{k\in\N}E_k$ de la distance d définie par

$d(x,y)=\sum_{k\in\N}\frac1{2^k}\frac{d_k(x_k,y_k)}{1+d_k(x_k,y_k)}$ .

En revanche, un produit non dénombrable d'espaces métriques n'est pas nécessairement métrisable. Par exemple, $\R^\R$ n'est même pas séquentiel.

Équivalence d'espaces métriques

En comparant deux espaces métriques il est possible de distinguer différents degrés d'équivalence. Pour préserver a minima la structure topologique induite par la métrique, une fonction continue entre les deux est requise.

Soit deux espaces métriques (M₁, d₁) et (M₂, d₂). M₁ et M₂ sont appelés

topologiquement isomorphes (ou homéomorphes) s'il existe un homéomorphisme entre eux.

uniformément isomorphes s'il existe un isomorphisme uniforme entre eux.

isométriquement isomorphes s'il existe une isométrie bijective entre eux. Dans ce cas les deux espaces sont essentiellement identiques. Une isométrie est une fonction f : M₁ → M₂ qui préserve les distances : d₂(f(x), f(y)) = d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁. Les isométries sont forcément injectives.

semblables s'il existe une constante positive k > 0 et une bijection f : M₁ → M₂, appelée similitude, telle que d₂(f(x), f(y)) = k d₁(x, y) pour tout x, y dans M₁.

similaires s'il existe une bijection f : M₁ → M₂, appelée similarité, telle que d₂(f(x), f(y)) = d₂(f(u), f(v)) si et seulement si d₁(x, y) = d₁(u, v) pour tous x, y,u, v dans M₁.^{[réf. souhaitée]}

Deux espaces euclidiens similaires sont nécessairement homéomorphes, donc de même dimension et par conséquent isométriques.

Espaces métrisables

Partant d'un espace topologique, on peut se demander s'il est métrisable, c'est-à-dire s'il existe une distance qui induit sa topologie. Plusieurs conditions suffisantes pour cela ont été trouvées.

La première réellement utile est due à Urysohn ; elle dit que tout espace topologique à base dénombrable et régulier est métrisable. (Cette forme de la condition a en fait été prouvée par Tychonov en 1926. Ce qu'Urysohn avait trouvé, dans un article publié en 1925, était que tout espace topologique à base dénombrable et normal est métrisable.) Par exemple, toute variété à base dénombrable est métrisable. Également un compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable.
Cette condition suffisante d'Urysohn (régularité + base dénombrable) a été transformée en une condition nécessaire et suffisante (régularité + base dénombrablement localement finie) par Bing, Nagata et Smirnov
Smirnov a aussi prouvé qu'un espace est métrisable si et seulement s'il est paracompact et localement métrisable (un espace est dit localement métrisable si chaque point a un voisinage métrisable). En particulier, une variété est métrisable si et seulement si elle est paracompacte.

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Définitions

Remarques

Exemples

Produit d'espaces métriques

Équivalence d'espaces métriques

Espaces métrisables

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