Dérivée directionnelle

Dérivée directionnelle

En analyse mathématique, la notion de dérivée directionnelle permet de quantifier la variation locale d'une fonction dépendant de plusieurs variables, en un point donné et le long d'une direction donnée dans l'espace de ces variables. Dans la version la plus simple, la dérivée directionnelle généralise la notion de dérivées partielles, dans le sens où l'on retrouve ces dernières en prenant comme directions de dérivation les axes de coordonnées.

Le concept de dérivée directionnelle est fondamental en analyse. Il est parfois le point de départ pour définir la dérivée d'une fonction, qui décrit comment sa valeur est modifiée lorsque ses arguments varient de manière infinitésimale mais arbitrairement (et non plus le long d'une direction préfixée) : la dérivée au sens de Gâteaux est définie de cette manière, mais aussi le sous-différentiel d'une fonction convexe et le sous-différentiel de Clarke d'une fonction lipschitzienne. C'est aussi un concept précieux pour obtenir des conditions nécessaires d'optimalité en optimisation.

On comprend alors pourquoi, l'on a introduit de multiples de notions de dérivée directionnelle, qui sont plus ou moins bien adaptées à la régularité (i.e., au caractère lisse) de la fonction étudiée et dont l'utilité et le domaine d'application dépendent de leurs propriétés. Les développements sont très raffinés et se poursuivent ; l'étude des liens entre eux mériterait une monographie. Nous nous contenterons ici de donner les principales définitions en commençant par les plus familières et les plus simples.

Sommaire

Fonction définie sur un espace vectoriel

Dérivée partielle suivant un vecteur

Définition

On donnera la qualification de points aux éléments de U et de vecteurs aux éléments de E, les raisons en seront détaillées au-dessous.

Soient E un espace vectoriel normé, U un ouvert de E, f une fonction définie sur U à valeurs dans un espace vectoriel normé F (ou plus généralement, un espace vectoriel topologique séparé), u un point de U et h un vecteur de E.

La dérivée de f au point u suivant le vecteur h est, si elle existe, la dérivée en 0 de la fonction de la variable réelle t \to f(u+th) :

D_h f (u)= \lim\limits_{t\to 0\atop t\neq 0} \frac{f(u+th)-f(u)}{t}.

Si h est le vecteur nul, cette dérivée directionnelle existe toujours et a une valeur nulle. On pourra supposer que h n'est pas le vecteur nul dans ce qui suit.

Lorsque l'espace E est de dimension finie n et muni d'une base, la fonction f peut être vue comme une fonction de n variables réelles, et le calcul des dérivées directionnelles suivant les vecteurs de base correspond au calcul des dérivées partielles de f :

D_{e_i} f (u) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(u)

Si on remplace h par un vecteur colinéaire αh, le calcul de dérivée est identique à la multiplication par le facteur α près :

D_{\alpha h} f(u) = \alpha D_h f(u) \,

Ainsi, lorsqu'existe en un point une dérivée suivant un vecteur, il en existe une suivant tout vecteur de même direction, mais la valeur de cette dérivée directionnelle dépend du choix du vecteur. On parlera de dérivée directionnelle de f au point u dans la direction de h lorsque le vecteur h est unitaire[1].

En revanche il n'y a pas de raison a priori d'observer un résultat particulier lorsqu'on somme deux vecteurs h et h' .

Cas d'une fonction différentiable

Si la fonction f est différentiable au point u, alors elle admet des dérivées en ce point dans la direction de tout vecteur. Cette dérivée se calcule à partir de l'application différentielle en u (notée df(u)) par application de la formule

D_h f (u)=(df (u))(h)\,

Et cette fois, notamment, on observe que le résultat est linéaire en h. Notamment

D_{h+ h'} f(u) = D_h f(u)+ D_{h'} f(u)\,

Enfin si E est un espace vectoriel de dimension finie n muni d'une base, il est possible de calculer toutes les dérivées directionnelles en termes de dérivées partielles

D_h f (u)= \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial f}{\partial x_i}.

En général, la réciproque est fausse : le fait qu'une application présente des dérivées en u dans toutes les directions n'assure pas sa différentiabilité, ni même sa continuité. Cependant, la réciproque est vraie si la fonction est définie sur un espace vectoriel de dimension finie n, est à valeurs réelles et est convexe : il suffit qu'elle ait des dérivées partielles suivant n vecteurs linéairement indépendants pour qu'elle soit différentiable (au sens de Fréchet).

Si E est un espace vectoriel euclidien et f une application différentiable à valeurs réelles, il est possible d'utiliser le gradient de f pour exprimer la dérivée directionnelle

D_h f (u)=\langle \nabla f (u)|h \rangle

Lorsque f présente un extremum local en un point u d'un ouvert, le gradient est nul en ce point (pour une étude plus détaillée voir point critique), ainsi que toutes les dérivées directionnelles.

Interprétation géométrique

La dérivée de la fonction f au point u dans la direction du vecteur h se calcule comme la dérivée en 0 de la fonction d'une seule variable réelle g(t)=f(u+th). Cette dernière s'interprète comme la fonction f lue le long de la droite passant par u et dirigée par h.

L'angle α entre la tangente en A' et l'horizontale sera maximal si le plan de coupe contient la direction du gradient en A

Si l'on associe à la fonction f: U \subset \R^2 \to \R la surface (S) d'équation cartésienne z=f(x,y), la notion de dérivée dans la direction d'un vecteur h=(h_1,h_2)~ unitaire en un point A=(x_0,y_0)~ de U peut être interprétée ainsi : le plan vertical contenant la droite horizontale passant par A et dirigée par h coupe la surface (S) selon la courbe paramétrée (C) :

t \to M(t) = \begin{cases} x_0+th_1 \\ y_0+th_2 \\ f(x_0+th_1,y_0+th_2) \end{cases}

La fonction M est dérivable en 0 si et seulement si f admet en A une dérivée dans la direction de h ; dans ce cas, il existe une tangente au point A{}^'=M(0)~ - qui est le point de (S) à la verticale de A - et D_hf(A)~ est la composante verticale du vecteur directeur de cette tangente.

Si f est différentiable en A, l'inégalité de Cauchy-Schwarz permet d'écrire (avec toujours h unitaire)

- \| \nabla f(A) \| \leqslant D_h f (A)=\langle \nabla f (A)|h \rangle \leqslant \| \nabla f(A) \|

avec égalité si (et seulement si) h est colinéaire au gradient de f en A.

La pente de la tangente est donc maximale en choisissant la direction du gradient, ce qui est à la base des méthodes de descente dans les problèmes de minimisation[2].

Dérivée directionnelle au sens de Dini

Définition

Soient \mathbb{E} un espace vectoriel, \mathbb{F} un espace vectoriel normé et f:\mathbb{E}\to\mathbb{F} une fonction. On dit que f est directionnellement dérivable au sens de Dini en x\in\mathbb{E} dans la direction d\in\mathbb{E} si la limite dans la définition de f'_{_D}(x;d) ci-dessous existe dans \mathbb{F} :

f'_{_D}(x;d):=\lim_{t\downarrow0}\,\frac{f(x+td)-f(x)}{t}.

La notation t\downarrow0 signifie que t tend vers zéro par des valeurs strictement positives.

Gâteaux différentiabilité

Soient \mathbb{E} et \mathbb{F} deux espaces vectoriels normés et f:\mathbb{E}\to\mathbb{F} une fonction. On dit que f est Gâteaux[3] différentiable en x\in\mathbb{E} si

  1. la dérivée directionnelle f'_{_D}(x;d) existe quel que soit d\in\mathbb{E},
  2. l'application D_Gf(x):d\in\mathbb{E}\mapsto f'_{_D}(x;d)\in\mathbb{F} est linéaire continue.

On dit que f est continûment Gâteaux différentiable en x\in\mathbb{E} si f est Gâteaux différentiable dans un voisinage V de x et D_Gf:V\to\mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{F}) est continue en x ; on a noté \mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{F}) l'ensemble des opérateurs linéaires continus de \mathbb{E} dans \mathbb{F}, muni de sa norme canonique.

Fonction ayant des valeurs infinies

En analyse convexe ou non lisse, on utilise une notion de dérivée directionnelle, qui est essentiellement celle de Dini, mais qui accepte que les fonctions prennent leurs valeurs dans la droite réelle achevée \bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}. Les dérivées directionnelles peuvent elles-mêmes prendre leurs valeurs dans \bar{\R}. Voici cette définition.

Soient \mathbb{E} un espace vectoriel et f:\mathbb{E}\to\bar{\R} une fonction. On dit que f est directionnellement dérivable en x\in\mathbb{E} dans la direction d\in\mathbb{E} si la limite dans la définition de f'(x;d) ci-dessous existe dans \bar{\R} :

f'(x;d):=\lim_{t\downarrow0}\,\frac{f(x+td)-f(x)}{t}.

Cette définition est motivée par le résultat suivant qui assure la dérivabilité directionnelle des fonctions convexes, dans toutes les directions. On y a noté

Dérivée directionnelle d'une fonction convexe — Soient \mathbb{E} un espace vectoriel, f:\mathbb{E}\to\bar{\R} une fonction convexe, x\in \mathbb{E} un point tel que f(x) est fini et d\in\mathbb{E}. Alors

  1. la fonction
    t\in\R_{++}\mapsto\frac{f(x+td)-f(x)}{ t}\in\bar{\R}
    est croissante ;
  2. f'(x;d) existe dans \bar{\R} (elle vaut éventuellement -\infty ou +\infty) ;
  3. f'(x;d) vaut +\infty si et seulement si x+td\not\in\operatorname{dom}\,f pour tout t > 0 ;
  4. f'(x;d)\geqslant-f'(x;-d) ; en particulier, si l'une des deux dérivées directionnelles f'(x;d) ou f'(x; − d) vaut -\infty l'autre vaut +\infty ;
  5. la fonction \delta_x:d\in\mathbb{E}\mapsto f'(x;d)\in\bar{\R} est sous-linéaire (en particulier convexe) ;
  6. si x\in\operatorname{intr}\,(\operatorname{dom}\,f), alors
    • le domaine de δx est le sous-espace vectoriel \mathbb{E}_0 de \mathbb{E} parallèle à \operatorname{aff}(\operatorname{dom}\,f),
    • si, de plus, \mathbb{E} est un espace vectoriel normé, la fonction δx est lipschitzienne sur \mathbb{E}_0.

Ce résultat est utilisé pour définir le sous-différentiel d'une fonction convexe.

Dérivée directionnelle au sens de Hadamard

Soient \mathbb{E} un espace vectoriel, \mathbb{F} un espace vectoriel normé et f:\mathbb{E}\to\mathbb{F} une fonction. On dit que f est directionnellement dérivable au sens de Hadamard en x\in\mathbb{E} dans la direction d\in\mathbb{E} si la limite dans la définition de f'_{_H}(x;d) ci-dessous existe dans \mathbb{F} :

f'_{_H}(x;d):=\lim_{\scriptstyle t\downarrow0\atop\scriptstyle d'\to d}\,\frac{f(x+td')-f(x)}{t}.

La notation t\downarrow0 signifie que t tend vers zéro par des valeurs strictement positives.

Dérivée directionnelle au sens de Clarke

La présentation ci-dessous se fonde sur l'ouvrage de Clarke (1983)[4].

Définition

Soient \mathbb{E} un espace de Banach et f:\mathbb{E}\to\R une fonction. La dérivée directionnelle de Clarke de f en x dans la direction d\in\mathbb{E} est notée f^\circ(x;d) et définie par

f^\circ(x;d):=\limsup_{\scriptstyle x'\to x\atop\scriptstyle t\downarrow0}\,\frac{f(x'+td)-f(x')}{t}.

Cette dérivée ne présuppose pas l'existence d'une limite ; elle existe toujours, mais elle peut cependant prendre une valeur infinie. L'utilité de cette dérivée directionnelle repose sur les propriétés suivantes.

Propriétés élémentaires — Si f est lipschitzienne de module L dans un voisinage de x, alors

  1. la fonction d\in\mathbb{E}\mapsto f^\circ(x;d) prend des valeurs finies, est positivement homogène, sous-additive, lipschitzienne de module L et on a
    \forall\,d\in\mathbb{E}:\qquad|f^\circ(x;d)|\leqslant L\|d\|,
  2. la fonction (x,d)\in\mathbb{E}^2\mapsto f^\circ(x;d) est semi-continue supérieurement,
  3. pour tout d\in\mathbb{E}, on a f^\circ(x;-d)=(-f)^\circ(x;d).

La dérivée directionnelle de Clarke est utilisée pour définir le sous-différentiel de Clarke d'une fonction localement lipschitzienne.

Différentiabilité stricte

Le concept de différentiabilité naturellement relié à la dérivée directionnelle de Clarke est celui de différentiabilité stricte, que l'on trouve chez Bourbaki. La fonction considérée peut ici être à valeurs dans une espace vectoriel, pas seulement dans \R ; nous avons marqué ce fait en la désignant par F, plutôt que f.

Soient \mathbb{E} et \mathbb{F} deux espaces de Banach et F:\mathbb{E}\to\mathbb{F} une fonction. On dit que F est strictement différentiable en x\in\mathbb{E} si l'application

D_sF(x): d\in\mathbb{E}\mapsto \lim_{\scriptstyle x'\to x\atop\scriptstyle t\downarrow0}\,\frac{F(x'+td)-F(x')}{t}\in\mathbb{F}

est linéaire continue et la limite est uniforme pour d dans un compact arbitraire.

Le résultat suivant apporte deux informations : d'une part, une fonction strictement différentiable en un point est nécessairement lipschitzienne dans un voisinage de ce point et, d'autre part, pour une fonction lipschitzienne, la différentiabilité stricte en un point est assurée sans que l'on ait besoin de vérifier la condition d'uniforme convergence pour des directions dans un compact.

Différentiabilité stricte et lipschitzianité — Soit F:\mathbb{E}\to\mathbb{F} une fonction définie dans le voisinage d'un point x\in\mathbb{E} et δ un opérateur linéaire continu de \mathbb{E} dans \mathbb{F}. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. F est strictement différentiable en x et DsF(x) = δ,
  2. F est lipschitzienne dans un voisinage de x et

\forall\,d\in\mathbb{E}:\qquad \lim_{\scriptstyle x'\to x\atop\scriptstyle t\downarrow0}\,\frac{F(x'+td)-F(x')}{t}=\delta(d).

Une fonction continûment Gâteaux différentiable est strictement différentiable.

Gâteaux et stricte différentiabilité — Une fonction F continûment Gâteaux différentiable en x est strictement différentiable en x (donc lipschitzienne dans un voisinage de x) et DGF(x) = DsF(x).

Fonction définie sur une variété

Définition

Soit f une fonction numérique sur une variété différentielle M. Avec une définition analogue à la précédente, il est loisible d'introduire la dérivée de f en un point m de M et dans la direction d'un vecteur tangent h en m à la variété. Comme la notion de droite dirigée par h n'a plus de sens, il faut la remplacer par une courbe passant par m et de vecteur tangent h en ce point.

Soit γ une courbe tracée sur M, continûment dérivable, vérifiant γ(0)=m et γ'(0)=h. Si la fonction f\circ \gamma admet une dérivée en 0, elle est appelée dérivée de f au point m dans la direction de h. On montre en effet que cette définition ne dépend pas de la courbe γ convenable choisie.

Extension : dérivée de Lie

Si X est un champ de vecteurs {\mathcal C}^\infty sur la variété M et si f est une fonction numérique {\mathcal C}^\infty sur M, il est possible de calculer les dérivées partielles de f en chaque point p selon le vecteur X(p). La fonction obtenue en considérant toutes ces dérivées est notée X\cdot f = {\mathcal L}_X f et est appelée dérivée de Lie de f par X.

Pour calculer la dérivée de Lie de f, il est notamment possible de prendre pour courbes tangentes aux vecteurs X(p) les courbes intégrales du champ de vecteurs. La généralisation de ce point de vue à la dérivation des champs de vecteurs, formes différentielles et tenseurs est décrit à l'article dérivée de Lie.

Annexes

Notes

  1. ↑ F. Reinhardt et H Soeder, Atlas des mathématiques, Paris, La Pochothèque, 1997, 502 p. (ISBN 2253130133), « Calcul différentiel », p. 321 
  2. ↑ Michel Berliaire, « Introduction à l'optimisation différentiable », Presses polytechniques et universitaires romandes, 2006, p. 35 et suiv. Consulté le 10 février 2011
  3. ↑ Cette appellation est conventionnelle. René Gâteaux utilise ce concept sans vraiment l'approfondir dans Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques, CRAS, vol. 157, 1913, p. 325–327 et Sur diverses questions de calcul fonctionnel, Bull. S.M.F, 50, 1-37, 1922.
  4. ↑ (en) F.H. Clarke (1983). Optimization and Nonsmooth Analysis. John Wiley & Sons, New York.

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