Dérivée partielle

En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction est la dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. Cette approche est utile dans l'analyse en dimension $n$ , la géométrie différentielle, et l'analyse vectorielle.

La dérivée partielle par rapport à la variable x est notée $\frac{ \partial f }{ \partial x }$ ou $\partial_xf$ ou encore f_x' (où $\partial$ , symbole de la dérivation partielle, est appelé d rond, ou parfois d ronde — à ne pas confondre avec $\ \delta$ , le delta minuscule de l'alphabet grec — plus de détails sur les notations).

Si f est une fonction de x₁, ..., x_n et dx₁, ..., dx_n sont les accroissements infinitésimaux de x₁, ..., x_n respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de f est :

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x_1}\,\mathrm{d}x_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}\,\mathrm{d}x_n.$

Cette expression est la « différentielle totale » de f, chaque terme dans la somme étant une « dérivée partielle » de f.

Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : $f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Exemple

Considérons le volume d'un cône V ; il dépend de la hauteur h et du rayon de la base r suivant la formule

$V = \frac{ r^2 h \pi }{3}$

La dérivée partielle de V par rapport à r est

$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2r h \pi }{3}$

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.

La dérivée partielle par rapport à h est

$\frac{ \partial V}{\partial h} = \frac{ r^2 \pi }{3}$

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.

$\mathrm{d}V = \frac{ \partial V}{\partial r} \mathrm{d}r+\frac{ \partial V}{\partial h}\mathrm{d}h=\frac{ 2r h \pi }{3} \mathrm{d}r+\frac{ r^2 \pi }{3} \mathrm{d}h = \left(\frac{ \partial V}{\partial r} \vec e_r+\frac{ \partial V}{\partial h}\vec e_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}r\vec e_r+ \mathrm{d}h\vec e_z\right)$

$= \left(\frac{ 2r h \pi }{3} \vec e_r+\frac{ r^2 \pi }{3}\vec e_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}r\vec e_r+ \mathrm{d}h\vec e_z\right)= \overrightarrow {\operatorname{grad}}\, V\cdot \overrightarrow {\mathrm{d} OM}$

Les équations faisant intervenir des dérivées partielles, appelées équations aux dérivées partielles, se rencontrent partout en sciences.

Notation

Soit f une fonction de x, y et z.

Les dérivées partielles premières sont :

$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x' = \partial_x f$

et celles du second ordre :

$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx}' = \partial_{xx} f = \partial^2_x f$

Celles du second ordre impliquant deux variables s'écrivent :

$\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = f_{yx}' = \partial_{yx} f$

$\frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = f_{xy}' = \partial_{xy} f$

Il est important de noter que, selon le théorème de Schwarz, nous pouvons écrire:

$\frac{ \partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{ \partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$

si f admet des dérivées partielles d'ordre 2 continues.

Nous notons les dérivées d'ordre supérieur ainsi :

$\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f_{kz jy ix}' = \partial_{kz jy ix} f$

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifier celles qui sont maintenues constantes.

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de $f$ par rapport à x, les variables y et z étant maintenues constantes, est souvent notée :

$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}$

Définition formelle et propriétés

Les dérivées partielles sont définies à partir de limites. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.

Soient U un sous-ensemble ouvert de $\R^n$ et $f : U \to \R, x = (x_1,\dots,x_n) \mapsto f(x) = f(x_1,\dots,x_n)$ une fonction de n variables.

On définit la dérivée partielle (d'ordre 1, ou première) de f au point $\mathbf{a} = (a_1,\dots,a_n) \in U$ par rapport à la i-ième variable x_i comme

$\frac{ \partial f}{\partial x_i }(\mathbf{a}) = \lim_{h \to 0}{ f(a_1, \dots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \dots ,a_n) - f(a_1, \dots ,a_n) \over h }$

Même si toutes les dérivées partielles $\frac{ \partial f}{\partial x_1}(\mathbf{a}),\, \dots,\, \frac{ \partial f}{\partial x_n }(\mathbf{a})$ existent en un point donné a, la fonction peut ne pas être continue en ce point. Par exemple, la fonction $f$ définie sur ${\mathbb R}^2$ par :

$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{xy}{x^2+y^2}&\text{si}& (x,y)\neq(0,0) \\ \\0&\text{si}&(x,y)=(0,0) \end{array}\right.$

vérifie $\frac{\partial f}{\partial x} (0,0)= \frac{\partial f}{\partial y} (0,0)=0$ mais n'a pas de limite en (0,0).

Toutefois, si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) existent et sont continues dans un voisinage de a, alors f est différentiable dans ce voisinage et la différentielle est continue. Dans ce cas, on dit que f est une fonction de classe C¹ sur ce voisinage de a.

Lorsqu'elle est définie en tout point de U, la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ est une fonction définie sur U. Il se peut qu'elle admette elle-même des dérivées partielles d'ordre 1 : elles sont appelées dérivées partielles d'ordre 2, ou secondes, de f ; la dérivée partielle d'ordre 1 de $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ au point a par rapport à la j-ième variable est notée $\frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}(\mathbf{a})$ . On définit de manière analogue des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Si toutes les dérivées partielles secondes de f existent et sont continues sur U, on dit que f est une fonction de classe C² sur cet ouvert. L'ordre de dérivation peut alors être changé sans que cela modifie le résultat, d'après le théorème de Schwarz :

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\, \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j\, \partial x_i}$

Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de f en un point donné a est appelé gradient de f au point a :

$\overrightarrow{\operatorname{grad}}f(\mathbf{a}) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$ ; on le note aussi $\overrightarrow{\nabla} f(\mathbf{a})$ (lire "nabla").

Si f est une fonction de classe C¹, alors le gradient de f au point a, quand il est non nul, a une interprétation géométrique : il indique la direction selon laquelle f varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Voir aussi

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