- Dérivation sous intégrale
-
Intégrale paramétrique
En mathématiques, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction définie à partir de l'intégration d'une fonction de plusieurs variables sur un ensemble fixe par rapport à une partie des variables seulement. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées dont par exemple la transformée de Fourier.
Sommaire
Exemples
Transformée de Fourier
Soit f une fonction de
dans
, L-intégrable sur
, la transformée de Fourier de f est la fonction de
dans
définie par la formule suivante :
où
désigne le produit scalaire usuel.
Fonction gamma d'Euler
La fonction gamma d'Euler est définie pour chaque
par la formule suivante :
Potentiel du champ de gravitation
Le potentiel du champ de gravitation créé par un corps matériel M de densité variable ρ en un point
extérieur à M est donné par la formule suivante
où G désigne la constante de gravitation et
la norme euclidienne.
Définition formelle
Si
et
sont des entiers tels que q + s = n, on écrira
avec x = (y,z) pour chaque élément
.
Soit f une fonction de
dans
, A une partie de
et B une partie de
. Si,
, la fonction
de
dans
est intégrable sur B, alors l'application F de A dans
définie par :
F(y) = ∫ f(y,z)dz B est appelée une intégrale paramétrique.
Existence d'une limite
Soit
et si les conditions suivantes sont satisfaites :
, la fonction
est intégrable sur B ,
existe pour presque tout
,
0 " style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/53/51e8964ca0d9ea07724f7eb474d19d03.png" border="0"> et des fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que
et pour presque tout
, on ait
alors la fonction
définie presque partout sur B par
est intégrable sur B et
soit encore :
Remarque, la notation
tient pour la boule fermée de centre a et de rayon r pour la norme infinie.
DémonstrationSoit
une suite dans
qui converge vers a (par compacité une telle suite existe). La suite
de fonctions intégrables sur B converge ponctuellement presque partout sur B vers
et on a par la troisième hypothèse :
pour tout
et pour presque tout
. Le théorème de convergence majorée et minorée de Lebesgue entraîne alors l'intégrabilité de
sur B et les relations
Continuité
Continuité locale : si l'on remplace la deuxième hypothèse du résultat précédent par une hypothèse de continuité de
en
pour presque tout
, on déduit du résultat précédent la continuité de F en a.
Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur
, que A est ouvert et B est fermé et borné, alors F est continue sur A.
DémonstrationPar hypothèse,
est continue sur B, et donc intégrable sur B pour chaque
. Par ailleurs, on a aussi que
est continue sur A pour chaque
. Si
, il existe r > 0 tel que
soit inclue dans A (qui est ouvert) et dès lors, par continuité de f, il existe une constante positive M telle que sur
, on ait :
il suffit donc de prendre g = − M = − h dans la proposition précédente.
Règle de Leibniz de dérivation sous le signe d'intégration
Etude locale
Supposons que
et que les trois conditions suivantes soient satisfaites :
est intégrable sur B pour chaque
- Il existe un entier
, un point
et un réel r > 0 tels que
et tels que
possède pour presque tout
une dérivée partielle par rapport à yi en chaque point
.
- Il existe deux fonctions réelles g et h intégrables sur B telles que, pour tout
et presque tout
, on ait :
Alors, l'intégrale paramétrique F possède en a une dérivée partielle par rapport à yi. Par ailleurs,
est intégrable sur B et :
Soit encore :
DémonstrationSoit ψ la fonction définie sur
par le quotient différentiel
où
désigne le vecteur de base correspondant à la variable yi. On a que
est intégrable sur B pour chaque
et on a :
pour presque tout
. En outre, en appliquant le théorème des accroissements finis, on a pour chaque h, un h' tel que :
avec 0 < | h' | < | h | . On a donc :
soit encore en utilisant la troisième hypothèse :
par conséquent en utilisant la proposition relative à la limite d'une intégrale paramétrique, on a que
est intégrable sur B et :
or on a que :
ce qui est égal à :
Par conséquent,
existe et vaut
.
Etude globale
Si A est ouvert, B est fermé borné et s'il existe
tel que, pour chaque
, f possède une dérivée partielle par rapport à yi et si
est une fonction continue sur
, alors F possède en chaque point
une dérivée partielle par rapport à yi, la fonction
est continue sur A et, pour tout
, on a :
DémonstrationSoit
, il existe r > 0 tel que
. Pour chaque
, la fonction
est continue, et donc intégrable, sur B et, par continuité, il existe une constante positive M telle que sur
on ait :
les trois conditions de la règle de Leibniz locale sont donc satisfaites et on peut l'appliquer partout. La continuité de
est déduite de la proposition sur la continuité globale d'une intégrale paramétrique.
Forme générale unidimensionnelle
Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.
Soit f une fonction continue de
dans
et possédant une dérivée partielle continue sur
par rapport à la première variable. Soient a et b deux fonctions dérivables de
dans
, si F est l'intégrale paramétrique définie par :
on montre que F est dérivable sur tout
et que
Remarque : on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(y) = a et b(y) = b.
DémonstrationSoit H l'application de
dans
définie par :
et qui est donc telle que F(y) = H(a(y),b(y),y). Le théorème de dérivation des fonctions composées nous donne que :
du théorème fondamental de l'analyse, on a que :
et
finalement, en appliquant la règle de Leibniz pour le dernier terme, on a :
en mettant ensemble les trois dernières relations on retrouve l'identité.
Exemples
Calcul d'intégrale 1
Voici une des nombreuses applications possibles de la forme générale unidimensionnelle avec des bornes constantes. On considère l'intégrale de Gauss avec a > 0 :
on peut en déduire, en appliquant l'identité que :
DémonstrationComme les bornes sont des constantes, l'identité devient :
de l'autre côté on a :
en assemblant les deux derniers résultats, on retrouve la formule indiquée.
Remarque, on peut étendre le résultat à toute intégrale ayant pour intégrande x2nexp( − ax2). (Les exposants impairs donnant systématiquement des intégrales nulles par parité).
Calcul d'intégrale 2
Soit l'intégrale suivante :
on peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que :
DémonstrationSoit F et g définies par :
on a clairement : F(a) = g(a) = 0. Il suffit donc de montrer que leurs dérivées sont égales pour tout b > 0 pour vérifier l'identité.
On a en effet que :
en appliquant la règle de Leibniz pour F, on a :
ce qui est évidemment égal à
.
Intégrale de Gauss
L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :
puisque la fonction est paire, on peut étendre le résultat à l'intégrale sur tout l'axe réel en doublant I. Ce résultat peut s'obtenir de plusieurs façons dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.
DémonstrationL'intégrale existe puisque l'intégrand est continu et tel que, pour tout
, on a :
le second membre étant évidemment intégrable sur tout l'axe réel. Considérons les deux fonctions définies par :
et
elles sont toutes deux définies et continues pour tout
et,
Par ailleurs, par les propriétés de dérivabilité d'une intégrale indéfinie (F) et par la règle de Leibniz pour G, on a :
et
pour y > 0 et en posant t = zy, on trouve que :
par conséquent, la fonction F + G est constante sur
et comme elle est continue à l'origine, on aura,
,
En prenant la limite à l'infini, on a :
Or cette limite vaut :
en appliquant la proposition sur l'existence d'une limite, on a :
le deuxième terme disparaissant à l'infini, on a finalement
ainsi que prévu.
Théorème de Fubini
A l'instar de la règle de Leibniz, le théorème de Fubini tient pour l'intégrabilité d'une intégrale paramétrique dont voici une version pour le cas de l'intégrabilité au sens de Riemann.
Soit A un pavé fermé de
, B un pavé fermé de
avec
. Soit encore f une fonction bornée définie sur
.
Si f est intégrable au sens de Riemann sur
, alors,
- La fonction
est intégrable au sens de Riemann sur B pour presque tous les y de A et l'intégrale paramétrique F1 définie par
F1(y) = ∫ f(y,z)dz B est intégrable sur A et on a :
.
- La fonction
est intégrable au sens de Riemann sur A pour presque tout les z de B et l'intégrale paramétrique F2 définie par
F2(z) = ∫ f(y,z)dy A est intégrable sur B et on a :
Si f est continue, les fonctions
et
le sont aussi et le théorème de Fubini permet d'écrire :
Exemple
Soit A = [0,2], B = [1,3] et f définie sur
par f(x,y) = x2 + y. Elle est intégrable sur
puisqu'elle est continue et on a :
Voir aussi
Références
- Jean MAWHIN, Analyse, fondements, techniques, évolution, 2e édition, De Boeck Université, (ISBN 978-2804124892)
- Camille DEBIEVE, Intégrales multiples, notes de cours disponible en ligne.
- Article Differentiation under the integral sign de Planet Math, lien
- Portail des mathématiques
Catégorie : Analyse
Wikimedia Foundation. 2010.