Théorème de convergence majorée et minorée

Théorème de convergence majorée et minorée

Théorème de convergence dominée

Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Sommaire

Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge simplement vers une fonction f \; sur E.
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, \forall x \in E, |f_{n}(x)|\leq g(x)

Alors f \in L^1 et

\lim_{n \to \infty} \int_E |f_n-f|d\mu= 0

ce qui entraîne :

\lim_{n \to \infty}\, \int_{E}{\, f_{n}d\mu}= \int_{E}{\, \lim_{n \to \infty}\, f_{n}d\mu} = \int_{E}{\, f}d\mu

La démonstration de ce théorème repose principalement sur le lemme de Fatou.

Démonstration

Commençons par montrer que f \in L^1 :

puisque f\; est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout n\; on a |f_{n}(x)|\leq g(x), par passage à la limite, |f(x)|\leq g(x), \forall x \in E donc f \in L^1.


Ensuite, on a 2g - |f_{n} - f| \geq 0 donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

\begin{align} \int_{E}2g \ d\mu &\leq \liminf \int_{E} (2g - |f_{n} - f|) \ d\mu\\ \ & = \int_{E} 2g \ d\mu + \liminf \int_{E} - |f_{n} - f| \ d\mu\\ \ & = \int_{E} 2g \ d\mu - \limsup \int_{E} |f_{n} - f| \ d\mu\\ \end{align}

et comme \int g \ d\mu < \infty \; alors, \limsup \int_{E} |f_{n} - f|\ d\mu \leq 0

d'où

\lim \int_{E} |f_{n} - f|\ d\mu = 0

et donc on en déduit :

\begin{align} \ & \left|\int_{E}(f_{n}-f)\ d\mu \right| \leq \int_{E}|f_{n}-f| \ d\mu\\ \Rightarrow & \left|\int_{E} f_{n}\ d\mu - \int_{E} f \ d\mu \right| \leq \int_{E}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\ \Rightarrow & \int_{E} f_{n} \ d\mu \rightarrow \int_{E} f \ d\mu \end{align}

\square

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur (E,\mathcal A,\mu), un espace mesuré, à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} admet une limite presque partout , c'est-à-dire, \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) existe presque partout x\;
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, |f_{n}(x)|\leq g(x) μ- presque partout.

Alors

\lim_{n \to \infty} \int_{E}{ f_{n} \ d\mu}= \int_{E} \lim_{n \to \infty} f_{n} \ d\mu

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Démonstration

Soit N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x) \} , alors \mu\left( N_{k}\right) = 0 pour tout k\; car ces ensembles sont négligeables. En posant N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k} on a toujours \mu\left( N \right) = 0 et ainsi on peut redéfinir fk = 0 sur N ce qui permet de se ramener au théorème de convergence dominée dans le cas simple.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la première hypothèse peut être modifiée en :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Exemple d'application

Si f\in L^1(\mathbf{R}), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx est continue La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi

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