Décagones

Décagones

Décagone

Un décagone régulier

Un décagone est un polygone à dix sommets et à dix côtés. Il a en tout et pour tout 35 diagonales. La somme de ses 10 angles vaut 1440°.

Sommaire

Aire d'un décagone régulier

L'aire d'un décagone régulier vaut  A = \frac{5\times a^2}{2}\times\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}, a étant un côté du décagone.

Plusieurs constructions possibles pour un décagone régulier

Construction très simple d'un décagone régulier

Cette construction est excessivement simple mais n'est pas forcément exacte :

  • Tracer un cercle Γ de centre O.
  • Soit A un point quelconque appartenant à Γ.
  • Il suffit alors de placer le point B sur Γ de façon à ce que l'angle \widehat {AOB} mesure 36°. En effet, on a 360/10 = 36°. Pour placer le point B, il faut utiliser un rapporteur, ce qui peut être source d'inexactitudes dans le reste de la construction (un rapporteur n'est jamais très précis).
  • Il ne reste plus qu'à reporter AB sur le cercle de manière à obtenir les 8 sommets restant.
  • Enfin on relie les différents sommets entre eux de manière à obtenir un décagone (à peu près) régulier.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un rectangle d'or

  • Tracer un cercle Γ de centre O et de diamètre [AB].
  • Soit H le milieu de [OA]. La médiatrice de [AB] (passant donc par O et perpendiculaire à [AB]) coupe le cercle Γ en C et en un second point D.
  • Le cercle Γ' de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E.
  • Les distances OA et AE représentent la largeur et la longueur d'un rectangle d'or.
  • Il faut maintenant reporter la longueur OE sur le cercle Γ à partir du point B pour obtenir les sommets d'un décagone régulier.
  • Il suffit enfin de relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Construction exacte d'un décagone régulier à partir d'un pentagone

Après avoir construit un pentagone régulier, il est facile de construire un décagone régulier :

  • Tracer un cercle qui passe par tous les sommets du pentagone ;
  • Trouver le point milieu de chaque côté du pentagone ;
  • Tracer un segment qui joint le centre du pentagone au point milieu de chaque côté et qui touche le cercle ;
  • Joindre, avec des segments, toutes les paires de points voisins qui touchent au cercle.

Autre construction exacte d'un décagone régulier

  • Tracer un cercle Γ de centre O, puis deux rayons perpendiculaires entre eux en O. On obtient alors les segments [OA] et [OB], A et B appartenant à Γ.
  • Soit H le milieu de [OB].
  • Construire le cercle Γ' de centre H et de rayon HO. Le segment [AH] coupe Γ' en C.
  • Le cercle de centre A et de rayon AC coupe le cercle Γ en M et N. [MA] est un des côtés du décagone régulier inscrit dans le cercle Γ.
  • Il suffit alors de reporter la longueur MA sur le cercle Γ à partir de M.
  • Il ne reste plus qu'à relier les différents sommets de manière à obtenir un décagone régulier.

Liens externes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « D%C3%A9cagone ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décagones de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Pavage de Penrose — Les pavages de Penrose sont des pavages du plan découverts par le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose dans les années 1970. Ce sont des pavages non périodiques caractérisables par des règles locales : s ils ne sont… …   Wikipédia en Français

  • Pavage de penrose — Les pavages de Penrose sont des pavages du plan découverts par le mathématicien et physicien britannique Roger Penrose dans les années 70. Ce sont des pavages non périodiques caractérisables par des règles locales : s ils ne sont… …   Wikipédia en Français

  • Dodecaedre tronque — Dodécaèdre tronqué Dodécaèdre tronqué Type Solide d Archimède Faces Triangles et décagones Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique   32 90 60 2 Faces par sommet …   Wikipédia en Français

  • Dodécaèdre Tronqué — Type Solide d Archimède Faces Triangles et décagones Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique   32 90 60 2 Faces par sommet …   Wikipédia en Français

  • Dodécaèdre tronqué — Type Solide d Archimède Faces Triangles et décagones Éléments :  · Faces  · A …   Wikipédia en Français

  • Solide d'Archimede — Solide d Archimède En géométrie, un solide d Archimède est un polyèdre convexe semi régulier, fortement symétrique composé de deux sortes (ou davantage) de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des… …   Wikipédia en Français

  • Solide d'Archimède — En géométrie, un solide d Archimède est un polyèdre convexe semi régulier, fortement symétrique composé de deux sortes (ou davantage) de polygones réguliers se rencontrant à des sommets identiques. Ils sont distincts des solides de Platon, qui… …   Wikipédia en Français

  • Grand Rhombicosidodécaèdre — Icosidodécaèdre tronqué Grand rhombicosidodécaèdre Type Solide d Archimède Faces Carrés, Hexagones et Décagones Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique   62 180 120 …   Wikipédia en Français

  • Grand rhombicosidodecaedre — Icosidodécaèdre tronqué Grand rhombicosidodécaèdre Type Solide d Archimède Faces Carrés, Hexagones et Décagones Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique   62 180 120 …   Wikipédia en Français

  • Grand rhombicosidodécaèdre — Icosidodécaèdre tronqué Grand rhombicosidodécaèdre Type Solide d Archimède Faces Carrés, Hexagones et Décagones Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique   62 180 120 …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”