Distance entre deux points sur le plan cartésien

Distance entre deux points sur le plan cartésien

Dans le plan cartésien, les points sont définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit deux points A et B dans le plan cartésien. On appelle (xA,yA) les coordonnées du point A et (xB,yB) les coordonnées du point B : alors la distance AB sur le plan vaut :

AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Démonstration

Soit C le point de coordonnées cartésiennes (xA;yB).
x_A = x_C \Rightarrow AC = |y_C-y_A| et (AC) est verticale ;
y_B = y_C \Rightarrow BC = |x_C-x_B| et (BC) est horizontale ;

donc (AC)\perp(BC).

D'après le théorème de Pythagore,

\begin{align} AB^2 &= BC^2+AC^2\\ &= |x_C-x_B|^2 + |y_C-y_A|^2\\ &= |x_A-x_B|^2 + |y_B-y_A|^2\\ &= (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2\\ \Rightarrow AB &= \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.\end{align}

On retrouve la formule donnée plus haut.

Voir aussi

v · d · m
Mathématiques élémentaires
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