Convergence absolue

Pour les articles homonymes, voir Absolu.

En mathématiques, une série numérique réelle ou complexe $\sum u_n$ converge absolument si, par définition, la série des valeurs absolues (ou des modules) $\sum |u_n|$ est convergente. Cette définition peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé et complet, soit un espace de Banach.

Lorsqu'elle est satisfaite, cette condition est suffisante pour assurer la convergence de la série $\sum u_n$ elle-même.

Par analogie, l’intégrale d’une fonction à valeurs réelles ou complexes converge absolument si, par définition, l'intégrale de la valeur absolue (ou du module) de la fonction est convergente (fonction dans L¹).

La convergence absolue des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions) : elle implique des propriétés plus fortes que la simple convergence.

Sommaire

1 Série numérique absolument convergente
- 1.1 Comportement des séries à termes réels
- 1.2 Propriétés des séries absolument convergentes
2 Extension aux séries à valeurs vectorielles
3 Intégrale absolument convergente
4 Notes (et références)
5 Articles connexes

Série numérique absolument convergente

Une série à termes réels ou complexes $\sum a_n$ converge absolument quand la série de terme général $| a n |$ converge. Dans ce cas, la série $\sum a_n$ converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en

$\left|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$

Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

Exemple : la série harmonique alternée $\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n}$ est semi-convergente.

Comportement des séries à termes réels

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.

Si les termes $a n$ de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes $a_n^+$ partie positive et $a_n^-$ partie négative du terme $a n$

$a_n^+=\max(a_n,0)\qquad a_n^-=\max(-a_n,0)$

Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de $a n$ . De sorte que

$a_n = a_n^+-a_n^- \qquad |a_n| = a_n^++a_n^-$

Les séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ étant à termes positifs, leur suite des sommes partielles est croissante ; elle converge ou tend vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.

Lorsque la série $\sum a_n$ converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ convergent toutes deux, donc par linéarité la série $\sum a_n$ aussi.
Lorsque la série $\sum a_n$ est semi-convergente, nécessairement les deux séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.

La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.

Propriétés des séries absolument convergentes

Si une série à termes réels ou complexes est absolument convergente, elle jouit des propriétés particulières suivantes, valables pour les sommes finies, mais généralement fausses pour les séries :

Généralisation de la commutativité : la convergence et la valeur de la somme ne dépendent pas de l'ordre des termes. Ainsi, si σ est une permutation de ${\mathbb N}$ , la relation suivante est satisfaite :

$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$

Si la série est seulement semi-convergente, le théorème de Riemann montre qu'un changement de l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.

Généralisation de la distributivité : le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, en satisfaisant la relation

$\left(\sum_{p=0}^{+\infty} a_p\right)\left(\sum_{q=0}^{+\infty} b_q\right)= \sum_{s=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^s a_nb_{s-n}\right)$

Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.

Extension aux séries à valeurs vectorielles

Considérons le cadre plus vaste d'un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels $\sum a_n$ converge absolument lorsque la série de terme général $\| a_n \|$ converge. Sans autre précision, rien ne permet d'affirmer qu'une limite existe dans E^[1].

Lorsque l'espace vectoriel E est complet, la convergence absolue implique non seulement l'existence d'une limite dans E, mais elle fournit encore une condition suffisante de convergence : si la série converge absolument, elle converge et

$\left\|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right\|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|a_n\|$

Cette propriété découle du critère de Cauchy relatif à la convergence des suites.

Il s'agit en fait d'une équivalence : si E est un espace vectoriel normé tel que toute série absolument convergente converge dans E, alors E est complet.

Intégrale absolument convergente

De même, une intégrale:

$\int_A f(x)\,dx$

converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie:

$\int_A \left|f(x)\right|\,dx<\infty.$

Notes (et références)

↑ Si E est le $\mathbb{Q}$ -espace vectoriel $\mathbb{Q}^n$ , la convergence a lieu dans $\R^n$ , mais pas nécessairement dans E qui n'est pas complet.

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Convergence absolue

Sommaire

Série numérique absolument convergente

Comportement des séries à termes réels

Propriétés des séries absolument convergentes

Extension aux séries à valeurs vectorielles

Intégrale absolument convergente

Notes (et références)

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Convergence absolue

Sommaire

Série numérique absolument convergente

Comportement des séries à termes réels

Propriétés des séries absolument convergentes

Extension aux séries à valeurs vectorielles

Intégrale absolument convergente

Notes (et références)

Articles connexes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link