- Centralisateur
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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X.
Sommaire
Centralisateur d'un élément
Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté CG(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.
Trois démonstrations- Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à CG(x). Si g et h sont deux éléments de CG(x), alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à CG(x). Enfin, si g appartient à CG(x), alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à gauche, nous trouvons x = g-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g-1 à droite, nous obtenons x g-1 = g-1 x, ce qui montre que g-1 appartient à CG(x).
- Seconde démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par IntG(x) l'automorphisme intérieur
de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de IntG(x) (et revient aussi, évidemment, à dire que x est point fixe de IntG(g)). Donc CG(x) est l'ensemble des points fixes de IntG(x). De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc CG(x) est un sous-groupe de G.
- Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, CG(x) est l'ensemble des éléments g de G tels que IntG(g) admette x pour point fixe. Autrement dit, CG(x) est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application
. Cette application 
est un homomorphisme de G dans le groupe SG des permutations de G (c'est même un homomorphisme de G dans Aut(G)) et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de SG, donc CG(x) est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G.
La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que CG(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer :
- Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de CG(x) dans G.
Centralisateur d'une partie
Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté CG(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, CG(X) est égal au centralisateur CG(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection
et il est clair que cette intersection est égale à CG(X) ; donc CG(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, CG(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G.
Propriétés du centralisateur d'une partie
- Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma :
- Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans CG(Y) revient à dire que Y est contenu dans CG(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y.
- En particulier, une partie X de G est contenue dans CG(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux.
- Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors CG(Y) est contenu dans CG(X).
- Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant CG(CG(X)).
- CG(CG(CG(X)))=CG(X). Cette équation[1] peut se reformuler en disant que dans un groupe G, un sous-ensemble H est un centralisateur (i.e. il existe une partie de G dont H est le centralisateur) si et seulement s'il est le centralisateur de CG(H).
- Si X est une partie d'un groupe G, le centralisateur de X dans G est égal au centralisateur dans G du sous-groupe <X> de G engendré par X.
Justification. Puisque X est contenue dans <X>, il résulte de la remarque précédente que CG(<X>) est contenu dans CG(X), que nous noterons Y. Réciproquement, montrons que CG(<X>) contient Y. D'après une propriété énoncée plus haut, le sous-groupe CG(Y) contient X, donc contient <X> (par définition du sous-groupe engendré). En réutilisant la même propriété, ceci revient à dire que CG(<X>) contient Y.
- Lemme N/C (ou théorème N/C)[2]. Soit H un sous-groupe d'un groupe G. Le centralisateur CG(H) est un sous-groupe normal du normalisateur NG(H) et le groupe quotient NG(H)/CG(H) est isomorphe à un sous-groupe de Aut(H).
Justification. Il est clair que si c est un élément de C = CG(H), alors c H c-1 = H, donc c appartient à N = NG(H), ce qui montre que C est sous-groupe de N. D'autre part, puisque H est normal dans N, tout automorphisme intérieur IntN(n) de N (avec n dans N) induit un automorphisme (non forcément intérieur) IntN(n)|H de H. L'application
est un homomorphisme de N dans Aut(H) et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est C. Donc C est sous-groupe normal de N et, d'après le premier théorème d'isomorphisme, N/C est isomorphe à l'image de cet homomorphisme, image qui est un sous-groupe de Aut(H).Grâce au lemme N/C, la structure interne d'un sous-groupe H de G peut fournir des renseignements sur NG(H)/CG(H). On montre ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini d'ordre > 1, si p est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors NG(P)/CG(P) = 1, autrement dit NG(P) est réduit à CG(P), de sorte que les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que P admet un complément normal dans G[3].
- Soit X une partie de G. Le normalisateur de X dans G est par définition[4] l'ensemble des éléments g de G tels que g X g-1 = X. On vérifie facilement que si h est un élément de G tel que
et c un élément de CG(X), alors h-1 c h appartient lui aussi à CG(X). On en tire en particulier que CG(X) est sous-groupe normal de NG(X), ce qui, dans le cas où X est un sous-groupe de G, a été démontré autrement au point précédent.
Soient G1 et G2 deux groupes, H un sous-groupe de G1 et f un homomorphisme de G1 dans G2. On vérifie facilement que
et que- si f est un isomorphisme de G1 sur G2, alors
.
En appliquant cela aux automorphismes et aux automorphismes intérieurs d'un groupe G, on en tire que
- le centralisateur d'un sous-groupe caractéristique de G est lui-même caractéristique dans G[5]
et (ce qu'on peut tirer aussi du lemme N/C) que
- le centralisateur d'un sous-groupe normal de G est lui-même normal dans G[6].
(On utilise ce dernier fait pour prouver par exemple qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal.)
Notes et références
- W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 52, exerc. 3.2.22 (c)
- « N/C lemma » dans J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 156. « N/C theorem » dans W.R. Scott, Group Theory, 1964, réimpr. Dover 1987, p. 50.
- Voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, dém. du théorème 7.51, p. 197.
- Définition conforme à H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004, p. 59.
- W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 52, exerc. 3.2.18 (b).
- W.R. Scott, Group Theory, 1964, rééd. Dover, 1987, p. 52, exerc. 3.2.18 (a).
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