- Groupe complet
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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe G est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et que tous ses automorphismes sont intérieurs.
Sommaire
Exemples
- On démontre[1] que les groupes symétriques Sn sont complets sauf si n est égal à 2 ou à 6. (Dans le cas n = 2 , le centre de Sn n'est pas réduit à l'élément neutre et dans le cas n = 6, Sn admet un automorphisme extérieur[2].) Compte tenu du théorème de Cayley, il en résulte que tout groupe fini peut être plongé dans un groupe complet.
- On démontre[3] que le groupe des automorphismes d'un groupe simple non abélien est un groupe complet.
Propriétés
- Si un groupe G est complet, l'homomorphisme canonique
de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G est un isomorphisme. (Il est injectif parce que le centre de G est réduit à l'élément neutre et il est surjectif parce que tout automorphisme de G est intérieur.)
- Il en résulte qu'un groupe complet est toujours isomorphe au groupe de ses automorphismes.
- La réciproque de l'énoncé précédent n'est pas vraie, en ce sens qu'un groupe peut être isomorphe au groupe de ses automorphismes sans être complet. Montrons que c'est le cas[4] du groupe diédral d'ordre 8. Soient G et H deux groupes isomorphes au groupe diédral D8 d'ordre 8, soient a un élément d'ordre 4 de G et b un élément de G n'appartenant pas au sous-groupe de G engendré par a; de même, soient c un élément d'ordre 4 de H et d un élément de H n'appartenant pas au sous-groupe de H engendré par c. D'après la théorie des groupes diédraux, il existe un et un seul isomorphisme de G sur H qui applique a sur c et b sur d. En appliquant cela au cas où G = H = D8, nous trouvons qu'il existe exactement 8 automorphismes de D8. Nous trouvons aussi qu'il existe un (et un seul) automorphisme f de D8 qui (dans les notations ci-dessus) applique a sur lui-même et b sur ab, et qu'il existe un (et un seul) automorphisme g de D8 qui applique a sur a-1 et b sur lui-même. Alors f est d'ordre 4, g est d'ordre 2 et gfg-1 = f-1, d'où il résulte que Aut(D8) est isomorphe à D8. Pourtant, D8 n'est pas complet, car, par exemple, son centre n'est pas réduit à l'unité (il comprend l'élément a2, qui est d'ordre 2).
- Si un groupe complet K est sous-groupe normal d'un groupe G, alors G est produit direct de K et du centralisateur
de K dans G.
Justification[5]. Du fait que K est sous-groupe normal de G, il résulte que
est lui aussi sous-groupe normal de G. (On peut le prouver en notant par exemple que d'après le lemme N/C[6], est sous-groupe normal de 
) D'autre part, 
est égal au centre de K et est donc réduit à l'élément neutre. Il reste à prouver que 
Soit g un élément de G. Puisque K est normal dans G, l'automorphisme (intérieur) 
de G induit un automorphisme de K. Puisque K est complet, cet automorphisme de K est intérieur, donc il existe un élément h de K tel que, pour tout élément k de K, on ait 
Alors 
appartient à , donc 
appartient à 
, donc - Il résulte de l'énoncé précédent qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal. Cette propriété caractérise les groupes complets : si un groupe K est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, K est complet. (On le démontre[7] assez facilement en utilisant le fait que, d'après les hypothèses, K est facteur direct de son holomorphe.)
- On montre facilement[8] que si le centre d'un groupe G est réduit à l'élément neutre, le centre de Aut(G) est lui aussi réduit à l'élément neutre. L'homomorphisme canonique de G dans Aut(G), l'homomorphisme canonique de Aut(G) dans Aut(Aut(G)) etc. sont alors injectifs, et on peut considérer que
est une suite croissante de groupes, qu'on appelle la tour des automorphismes de G. Helmut Wielandt a démontré[9] en 1939 que si G est un groupe fini de centre réduit à l'élément neutre, la tour des automorphismes de G est stationnaire, ce qui revient à dire qu'elle comprend un groupe complet.
- On démontre que si G est un groupe infini dont le centre est réduit à l'élément neutre, la tour des automorphismes de G définie comme ci-dessus n'est pas forcément stationnaire, autrement dit ne comprend pas forcément un groupe complet. Toutefois, on peut définir, pour tout ordinal non vide
, une famille 
de groupes en posant 
et en prenant, pour 
égal à 
si 
a un prédécesseur 
et, dans le cas contraire, en prenant 
égal à la limite inductive des 
, où parcourt les éléments de strictement inférieurs à . S. Thomas a démontré[10] en 1985 que, pour tout groupe (fini ou infini) G de centre réduit à l'élément neutre, il existe un ordinal tel que la tour transfinie ainsi construite soit stationnaire.
Liens externes
- Joel David Hamkins: How tall is the automorphism tower of a group? Publié dans Yi Zhang (dir.), Logic and Algebra, American Mathematical Society, 2002 (AMS Contemporary Mathematics Series, 302 (2001)).
Notes et références
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 158.
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 160.
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 162.
- Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, exerc. 7.15, p. 167.
- Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, dém. du théor. 7.15, p. 163.
- Voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 156.
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 164.
- Pour une démonstration, voir par exemple J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 162, début de la démonstration du théorème 7.14.
- H. Wielandt, « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Mathematische Zeitung, pp. 209–244 (1939). Voir une démonstration dans I.M. Isaacs, Finite Group Theory, American Mathematical Society, 2008, pp. 278-284.
- Simon Thomas, « The automorphism tower problem », Proceedings of the American Mathematical Society, 95, pp. 166–168 (1985). Résultat cité sans démonstration par J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, Springer, p. 163.
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