Surface (géométrie)

Surface (géométrie)
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En mathématiques, une surface est un ensemble de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, comme dans le plan (avec l'abscisse et l'ordonnée) ou sur une sphère (avec la latitude et la longitude). Une définition plus rigoureuse est celle de variété réelle de dimension 2.

Une surface peut ainsi être un domaine du plan, délimité par un contour plus ou moins régulier comme un polygone, un cercle ou d'autres courbes. Mais il est aussi possible de définir des surfaces comme sous-variétés de l'espace à trois dimensions (ou plus), notamment comme ensemble de solutions d'un système d'équations pour lequel il y a deux inconnues de plus que d'équations.

Exemples

Certaines surfaces sont des figures classiques de la géométrie du plan (triangles et autres polygones, disques, anneaux…) ou de l'espace (sphères, cylindres, ellipsoïdes et autres quadriques, tores, ruban de Möbius…) tandis que d'autres ne peuvent être plongées dans l'espace à trois dimensions, soit pour des raisons raisons géométriques comme le demi-plan de Poincaré, soit pour des raisons topologiques comme le plan projectif ou la bouteille de Klein.

Parmi les surfaces de l'espace à trois dimensions, certaines sont obtenues par rotation d'une courbe autour d'un axe, ce qui fournit entre autres des formules permettant d'évaluer leur aire.

Article détaillé : Surface de révolution.

Une surface réglée est une surface obtenue comme réunion d'un ensemble de droites, comme les cylindres ou les hyperboloïdes à une nappe.

Classification topologique

Les surfaces compactes connexes peuvent être classifiées topologiquement par trois invariants :

Voir aussi


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