Courbe Tracée Sur Une Surface

Courbe tracée sur une surface

Une courbe tracée sur une surface $Σ$ est une application différentiable $c:I\rightarrow R^3$ d'image $c (I)$ contenue dans $Σ$ .

Exemples remarquables

Sur la sphère unité de $R 3$ , un grand cercle est la trace sur $S 2$ d'un plan vectoriel. C'est la courbe tracée sur $S 2$ donnée par :

$c:\theta\mapsto \cos \theta V+\sin \theta W$

où V et W sont deux vecteurs unitaires orthogonaux.

Sur une surface $Σ$ , une géodésique est une courbe c tracée sur une surface dont l'accélération $c''(t)$ est orthogonal à $Σ$ . Les grands cercles sur les sphères sont des géodésiques. Ce sont les seules.

A Paques, les artistes dessinnent sur des œufs. Les motifs dorés sont des courbes tracées sur la coquille.

Plus généralement, les dessins sur les objets consistent en des remplissages de domaines délimités par des courbes tracées sur la surface de l'objet !

Propriétés métriques

L'utilisation de courbes tracées sur une surface X permet de faire le lien entre courbure d'une courbe et seconde forme fondamentale II de X, objet mathématique permettant le calcul des courbures principales de X.

Si c est une courbe tracée sur la surface, et $P = c (0)$ , $v = c'(0)$ , alors $I I P (v)$ est la composante normale à X de l'accélération $c''(0)$ :

I I P (v) = < c''(0) | ν(P) >

Démonstrations

Introduisons

v (t)

le projeté orthogonal de

c (t) - P

sur le plan, vectoriel

T P X

. Localement, X est le graphe d'une fonction f définie sur le plan tangent

T P M

. Pour t proche de 0, il vient :

$c(t)=P+v(t)+f(v(t))\nu(P)=P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)$

Notons

w

le projeté de

c''(0)

. Par projection, on obtient :

$v(t)=tV+\frac{t^2}{2}w+o(t^2)$

Or, par définition de la seconde forme fondamentale,

I I P

est équivalente à f à l'ordre 2. De fait, il vient :

$f\left[c(t)\right]=t^2.II_P(v)$

De fait, on écrit :

$c(t)=P+tv+\frac{t^2}{2}.\left[w+II_P(v)\nu(P)\right]+o(t^2) =P+tV+\frac{t^2}{2}c''(0)+o(t^2)$

D'où le résultat annoncé.

Voir aussi

repère de Darboux

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Catégorie : Géométrie différentielle classique

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