- Liste des petits groupes
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La liste mathématique suivante contient tous les groupes finis d'ordre inférieur ou égal à 17, à isomorphisme près.
Sommaire
Terminologie et notations
- Zn : le groupe cyclique d'ordre n (parfois noté Cn, il est isomorphe à Z/nZ).
- Dn : le groupe diédral d'ordre 2n (il est parfois noté D2n ou, chez les auteurs anglo-saxons, Dihn).
- Sn : le groupe symétrique de degré n, contenant les n! permutations de n objets.
- An : le groupe alterné de degré n, contenant les n!/2 permutations paires de n objets.
- Dicn : le groupe dicyclique (en) d'ordre 4n (généralisant les groupes de quaternions Q4n).
La notation G × H désigne le produit direct des deux groupes ; Gn désigne le produit direct de n copies du groupe G. G
H désigne un produit semi-direct où H agit sur G ; quand l'action exacte de H sur G est omise, toutes les actions non triviales conduisent au même groupe produit (à isomorphisme près).Les groupes simples d'ordre n < 60 sont les groupes cycliques Zn, avec n premier. Le signe d'égalité ("=") désigne l'isomorphisme.
Dans les graphes des cycles, l'élément neutre est représenté par un cercle noir. Le plus petit groupe que ce graphe ne caractérise pas à isomorphisme près est d'ordre 16.
La liste des sous-groupes ne mentionne que ceux distincts du groupe trivial et du groupe entier. Quand il existe plusieurs sous-groupes isomorphes, leur nombre est indiqué entre parenthèses.
Petits groupes abéliens
Les groupes abéliens finis ont une classification simple : ils sont cycliques, ou produits directs de groupes cycliques. Voir l'article détaillé Groupes abéliens.
Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles 1 groupe trivial = Z1 = S1 = A2 - de nombreuses propriétés triviales 
2 Z2 = S2 = D1 - simple, plus petit groupe non trivial 
3 Z3 = A3 - simple 
4 Z4 Z2 - 
groupe de Klein = Z2 × Z2 = D2 Z2 (3) plus petit groupe non cyclique 
5 Z5 - simple 
6 Z6 = Z3 × Z2 Z3 , Z2 
7 Z7 - simple 
8 Z8 Z4 , Z2 - 
Z4 × Z2 Z22, Z4 (2), Z2 (3) 
Z23 Z22 (7) , Z2 (7) les éléments autres que l'identité correspondent aux points du plan de Fano (le plus petitplan projectif fini), les Z2 × Z2 sous-groupes aux droites de ce plan 
9 Z9 Z3 
Z32 Z3 (4) 
10 Z10 = Z5 × Z2 Z5 , Z2 
11 Z11 - simple 
12 Z12 = Z4 × Z3 Z6 , Z4 , Z3 , Z2 
Z6 × Z2 = Z3 × Z22 Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z22 
13 Z13 - simple 
14 Z14 = Z7 × Z2 Z7 , Z2 
15 Z15 = Z5 × Z3 Z5 , Z3 
16 Z16 Z8 , Z4 , Z2 
Z24 Z2 (15) , Z22 (35) , Z23 (15) 
Z4 × Z22 Z2 (7) , Z4 (4) , Z22 (7) , Z23, Z4 ×Z2 (6) ce groupe a le même graphe des cycles que celui engendré par les matrices de Pauli (mais ne lui est pas isomorphe) 
Z8 × Z2 Z2 (3) , Z4 (2) , Z22, Z8 (2) , Z4 × Z2 
Z42 Z2 (3), Z4 (6) , Z22, Z4 × Z2 (3) 
17 Z17 - simple Petits groupes non abéliens
On ne connait pas de classification complète des groupes non-abéliens. Tout groupe simple non abélien est d'ordre pair (c'est le théorème de Feit et Thompson) ; le plus petit est le groupe A5, d'ordre 60. Le plus petit groupe non abélien d'ordre impair est le groupe de Frobenius F21, d'ordre 21.
Ordre Groupe Sous-groupes Propriétés Graphe des cycles 6 S3 = D3 Z3 , Z2 (3) plus petit groupe non-abélien, groupe des symétries du triangle équilatéral 
8 D4 Z4, Z22 (2) , Z2 (5) groupe des symétries du carré 
groupe des quaternions = Q8 = Dic2 Z4 (3), Z2 plus petit groupe hamiltonien ; plus petit groupe non abélien dont tous les sous-groupes sont normaux 
10 D5 Z5 , Z2 (5) groupe des symétries du pentagone régulier 
12 D6 = D3 × Z2 Z6 , D3 (2) , Z22 (3) , Z3 , Z2 (7) groupe des symétries de l'hexagone régulier 
A4 Z22 , Z3 (4) , Z2 (3) plus petit groupe n'admettant pas de sous-groupes de tous les ordres divisant l'ordre du groupe : pas de sous-groupe d'ordre 6 (voir le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow) 
Dic3 = Z3 Z4Z2, Z3, Z4 (3), Z6 
14 D7 Z7, Z2 (7) groupe des symétries de l'heptagone régulier 
16[1] D8 Z8, D4 (2), Z22 (4), Z4, Z2 (9) groupe des symétries de l'octogone régulier 
D4 × Z2 D4 (2), Z4 × Z2, Z23 (2), Z22 (11), Z4 (2), Z2 (11) 
groupe de quaternions généralisé Q16 = Dic4 
Q8 × Z2 groupe hamiltonien 
Le groupe quasidiédral (en) d'ordre 16 
Le groupe modulaire (en) d'ordre 16 Z4 Z4
Le groupe engendré par les matrices de Pauli ce groupe a le même graphe des cycles que le groupe Z4 × Z22, mais ne lui est pas isomorphe G4,4 = Z22 Z4
Notes et références
- Wild, Marcel. "The Groups of Order Sixteen Made Easy", American Mathematical Monthly, Jan 2005 (en)
Voir aussi
Liens externes
- Liste des groupes d'ordre inférieur ou égal à 31 dans : (en) Eric W. Weisstein, « Finite Group », MathWorld
- (en) Small group library, par Besche, Eick et O'Brien.
- Sur les groupes d'ordre 8
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of small groups » (voir la liste des auteurs)
Catégories :- Groupe remarquable
- Groupe fini
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