Suite du lapin

Suite du lapin

Mot de Fibonacci

Caractérisation par une droite de pente \varphi ou \varphi-1 avec \varphi, le nombre d'or

Un Mot de Fibonacci est une suite spécifique de lettres ou symboles pris dans un alphabet quelconque de deux lettres. Les mots de Fibonacci sont à l'opération de concaténation ce que les nombres de Fibonacci sont à l'addition.

Sommaire

Definition

A partir de l'alphabet {0;1}, Posons S1 = "1" and S2 = "0". alors le mot de Fibonacci Sn = Sn − 1Sn − 2 (La concaténation des deux précédents termes).

Le mot infini de Fibonacci est la limite S_{\infty}.

Le mot de Fibonacci est baptisé par analogie avec la suite de Fibonacci, en substituant l'addition par la concaténation.

Les mots de Fibonacci successifs sont :

S1    1

S2    0

S3    01

S4    010

S5    01001

S6    01001010

S7    0100101001001

S8    010010100100101001010

...

Le mot infini de Fibonacci commence donc par : 010010100100101001010010010100100101001010010010100101... Cette suite infinie est la suite A003849 de l’OEIS.

On trouve dans la littérature également le terme "suite du Lapin", identique au mot de Fibonacci en inversant "0" et "1". La suite du Lapin commence donc par 101101011...

Propriétés

Expression analytique

La nieme lettre du mot de Fibonacci est \left\lfloor {\left( {n + 2} \right)\,{\varphi \over {1 + 2\,\varphi }}} \right\rfloor - \left\lfloor {\left( {n + 1} \right)\,{\varphi \over {1 + 2\,\varphi }}} \right\rfloor où\varphi est le Nombre d'or et \left\lfloor x \right\rfloor est la fonction partie entière (suite A003849 de l’OEIS).

Règle de substitution ou morphisme

Les mots de Fibonacci peuvent être définis via un morphisme (ou substitution).

Partant d'un mot de fibonacci Sn, on obtient le mot Sn + 1 en:

  • remplaçant la lettre "1" par "0"
  • remplaçant la lettre "0" par "01"

Que l'on peut aussi écrire:

Sn + 1 = σ(Sn) avec σ le morphisme défini par:

  • σ(1) = 0 et
  • σ(0) = 01

et, pour le mot infini de Fibonacci, S_{\infty}=\lim_{n->\infty}\sigma^n(1).

On dit aussi que le mot infini de Fibonacci est le point fixe du morphisme σ car S_{\infty}=\sigma(S_{\infty}). Ce morphisme est appelé "Morphisme de Fibonacci".

Mot de Fibonacci et suite de Fibonacci

Mot de Fibonacci et Suite de Fibonacci sont étroitement liés. Chaque mot de Fibonacci étant la concaténation des deux précédents et partant de "1", puis "0", alors la longueur du mot de Fibonacci Sn vaut le nombre de Fibonacci Fn.

On écrit: | Sn | = Fn

Sn long.= Fn
1 1
0 1
01 2
010 3
01001 5
01001010 8
0100101001001 13
010010100100101001010 21

De même, on montre que:

  • le nombre de "0" vaut Fn − 1
  • le nombre de "1" vaut Fn − 2

Diverses propriétés

  • Le mot infini de Fibonacci n'est pas périodique. Il n'est pas, non plus, ultimement périodique.
  • Les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci sont alternativement "01" et "10"
  • En supprimant les deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci, on obtient un palindrome.
  • En juxtaposant le complément binaire des deux dernières lettres d'un mot de Fibonacci au début de ce mot, on obtient un palindrome. Ainsi 01S6 = 0101001010 est un palindrome.
  • Dans le mot infini de Fibonacci, le ratio nbre de lettres/nombre de "0" tend vers φ, le nombre d'or. De même que le ratio nombre de "0"/nombre de "1".
  • Le mot de Fibonacci est "équilibré": Soit deux facteurs de même longueur pris n’importe où dans le mot de Fibonacci, la différence entre le nombre de "0" de l’un et le nombre de "0" de l’autre ne dépasse jamais la valeur 1. Nota: tout mot sturmien est équilibré.
  • On ne peut trouver dans un mot de Fibonacci le facteur ("sous-mot") "11" ni "000".
  • Dans le mot infini de Fibonacci, le nombre de facteurs (sous-mots) distincts de longueur k est k+1. Le mot infini de Fibonacci est donc un mot sturmien. Ainsi, les facteurs distincts de longueur 3 sont au nombre de 4: "001", "010", "100" et "101". Etant non-périodique, ce mot est alors de dit de "complexité minimale".
  • Chaque facteur du mot infini de Fibonacci y apparait une infinité de fois.
  • Si un mot est facteur du mot infini de Fibonacci, alors son inverse l'est aussi.
  • La concaténation de deux mots de Fibonacci successifs est "presque commutative". Ainsi, Sn + 1 = SnSn − 1 et Sn − 1Sn diffèrent seulement sur les deux dernières lettres. Exemple: S8 = S7S6 = (0100101001001)(01001010) et S6S7 = (01001010)(0100101001001).
  • Le mot infini de Fibonacci est le mot sturmien de pente 1 / φ2 avec φ, le nombre d'or
  • Par conséquent, le mot infini de Fibonacci peut aussi se caractériser par la suite des intersections d'une droite de pente φ ou φ − 1 (φ = nombre d'or), avec les droites de coordonnées entières. Voir figure plus haut.
  • Le nombre 0,010010100..., dont les décimales sont contruites à partir du mot infini de Fibonacci, est transcendant.
  • Les lettres "1" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Upper Wythoff (suite A001950 de l’OEIS) : \lfloor n\phi^2\rfloor
  • Les lettres "0" se situent aux positions données par les valeurs successives de la suite Lower Wythoff (suite A000201 de l’OEIS) : \lfloor n\phi\rfloor
  • Le mot de Fibonacci admet des répétitions de 3 sous-mots (cubes), comme "010", mais pas de répétitions de 4 sous-mots. On montre que le mot de Fibonacci admet au plus 2 + φ = 3,618 répétitions. C'est le plus faible index (ou "exposant critique") parmi les mots sturmiens.
  • En théorie de la complexité, le mot de Fibonacci est souvent cité comme le "pire cas" pour un algorithme de recherche de répétitions dans une chaine de caractères.

Fractale du mot de Fibonacci

Les trois types de courbes fractales du mot de Fibonacci.

Commons-logo.svg

La fractale du mot de Fibonacci se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule). Pour chaque lettre en position k:

  • tracer un segment
  • et si "0" alors faire quart de tour:
    • à droite si k est pair
    • à gauche si k est impair

Pour un mot de Fibonacci de longueur Fn, une courbe de Fn segments est ainsi associée. Selon la valeur de n, la courbe se présente sous trois aspects différents: F3k, F3k + 1. et F3k + 2 (Voir figure ci-contre). Cette courbe a été étudiée pour ses propriétés.[1].

Voir aussi

References

Bibliographie

  • Combinatorics on Words (Cambridge Mathematical Library). par M.Lothaire. ISBN - 978-0521599245
  • Automatic Sequences par Jean-Paul Allouche and Jeffrey Shallit Cambridge University Press 2003

Articles connexes

Liens externes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Mot de Fibonacci ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Suite du lapin de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Lapin agile — Lapin Agile, 2006 Le Lapin Agile est un cabaret de Paris situé sur la butte Montmartre au 4 de la rue des Saules dans le XVIIIe arrondissement. Établi dans la seconde moitié du …   Wikipédia en Français

  • Lapin chinchilla — Lapin chinchilla …   Wikipédia en Français

  • Lapin Câlin — est un chanteur virtuel, qui vise un très jeune public (de 2 à 9 ans généralement) et qui est essentiellement connu pour son titre La fête des lapins, qui a atteint la 29e place du Top 50. C est une création originale en images de synthèse… …   Wikipédia en Français

  • Lapin domestique — Pour les articles homonymes, voir Lapin (homonymie) et Lapin. Un lapin rex dalmatien, une des nombreuses races de lapins domestiques. Le lapin domestique …   Wikipédia en Français

  • Lapin — Pour les articles homonymes, voir lapin (homonymie). Nom vernaculaire ou nom normalisé ambigu : Le terme « lapin » s applique en français à plusieurs taxons distincts …   Wikipédia en Français

  • Lapin De Garenne — Oryctolagus cuniculus Lapin européen …   Wikipédia en Français

  • Lapin de garenne — Oryctolagus cuniculus Lapin européen …   Wikipédia en Français

  • Lapin européen — Oryctolagus cuniculus Lapin européen …   Wikipédia en Français

  • Lapin Agile — Le Lapin Agile en 2006. 48° 53′ …   Wikipédia en Français

  • Lapin du lundi parjuré — Lundi parjuré Le Lundi Perdu ou Lundi Parjuré (en néerlandais verloren maandag ou verzworen maandag) est une fête traditionnelle qui se déroule le lundi qui suit l Épiphanie, c est à dire le lundi qui suit le 6 janvier. Elle reste surtout vivace… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”