- Base d'Auerbach
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Une base d'Auerbach dans un espace vectoriel normé est une partie libre vérifiant des propriétés spéciales.
Sommaire
Définition
Soit X un espace vectoriel normé. Pour tout vecteur a et toute partie B de X, la distance de a à B (ou, ce qui revient au même, à l'adhérence de B) est :
La notation [B] désignera l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par B.
Une partie A de X est appelée base d'Auerbach de X si les trois conditions suivantes sont satisfaites :
- [A] = X, c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel engendré par A est dense dans X ;
- pour tout vecteur a de A, on a
![\|a\|=d(a,[A\setminus\{a\}])](6/b66f3e4c00c16fda1b1d7fc647583729.png)
, - le vecteur nul n'appartient pas à A.
Une base d'Auerbach A est dite base d'Auerbach normée lorsque tous les vecteurs de A ont pour norme 1.
Propriétés
- Toute base d'Auerbach A est :
- topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout a de A, le vecteur a n'appartient pas à
![\scriptstyle[A\setminus\{a\}]](4/e34b3f9b5e8b0177d8b9ef7f392cf0d6.png)
, et a fortiori algébriquement libre ; - topologiquement génératrice, ou « totale »[1] (c'est ce qu'exprime la condition [A] = X), mais pas nécessairement algébriquement génératrice.
- topologiquement libre c'est-à-dire[1] que pour tout a de A, le vecteur a n'appartient pas à
(Si X est de dimension finie, ces deux notions topologiques sont équivalentes à leurs homologues algébriques.)
- Dans les espaces vectoriels normés de dimension finie, le lemme d'Auerbach affirme qu'il y a toujours une base d'Auerbach.
Motivation
Dans un espace préhilbertien, pour tout vecteur x et toute partie B on a :
![\|x\|=d(x,[B])\Leftrightarrow x\perp B](8/9980b7d1d448f00efe4e22280180da54.png)
(le cas général se déduit du cas particulier où [B] est une droite). Dans un tel espace, la notion de base d'Auerbach normée est donc équivalente à celle de base de Hilbert.
La notion a été définie dans la thèse de Herman Auerbach. La thèse, écrite en 1929, a disparu. Mais la notion a été mentionnée dans une monographie de Stefan Banach de 1932[2].
Définition équivalente
Dans un espace de Banach X, une partie A est une base d'Auerbach normée (si et) seulement si :
- [A] = X ;
- pour tout vecteur a de A, on a la condition de normalisation
; - pour tout vecteur a de A, il existe une forme linéaire continue f sur X (donc un élément du dual topologique de X) de norme 1, nulle sur
et telle que f(a) = 1.
En effet, d'après une version simplifiée du théorème de Hahn Banach, pour tout sous-espace vectoriel fermé F de l'espace de Banach X et tout vecteur a n'appartenant pas à F, il existe sur X une forme linéaire f de norme 1, nulle sur F, et telle que f(a) = d(a,F).
Note et références
- (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Auerbachbasis » (voir la liste des auteurs)
- (en) Bartoszyński et al., « On bases in Banach spaces », in Studia Math., vol. 170, n° 2, 2005, p. 147-171
- (de) Dirk Werner, Funktionalanalysis, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, 2005, 5e éd. (ISBN 3540213813)
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT I
- Stefan Banach, Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, édité par M. Garasiński, Varsovie, 1932
Article connexe
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