Algèbre dendriforme

Algèbre dendriforme
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En mathématiques, une algèbre dendriforme est un module A sur un anneau commutatif R muni de deux opérations bilinéaires \prec et \succ , appelées respectivement opération gauche et opération droite, satisfaisant les relations suivantes

(a\prec b)\prec c = a\prec (b\prec c)+a\prec (b\succ c) \,
(a\succ b)\prec c = a\succ (b\prec c) \,
(a\prec b)\succ c +(a\succ b)\succ c = a\succ (b\succ c) \,

On remarque que le produit

a*b := a\prec b+a\succ b\,

est associatif. Donc A est une algèbre associative (sans unité) dont le produit a été dichotomisé. L'algèbre dendriforme libre sur un module V, notée Dend(V), peut être décrite en termes d'arbres binaires planaires enracinés, d'où le qualificatif dendriforme, de la racine grecque dend-.

Ce type d'algèbres, découvert par Jean-Louis Loday en 1995, est en relation avec de nombreux autres types comme les algèbres associatives (voir ci-dessus), les algèbres pré-Lie, les algèbres de Leibniz, les algèbres de Zinbiel. Par exemple, l'opération \{a,b\}:= a\prec b - b\succ a est une opération pré-Lie (son associateur est symétrique en les deux dernières variables). Si les opérations gauche et droite satisfont à la relation de symétrie a\prec b = b \succ a, alors on a une algèbre de Zinbiel.


Références

  • Jean-Louis Loday, « Algèbres ayant deux opérations associatives (digèbres) », dans C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., vol. 321, no 2, 1995, p. 141--146 
  • Jean-Louis Loday, « Dialgebras », dans Springer Lecture Notes in Maths, vol. 1763, 2001, p. 7-66 

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Algèbre dendriforme de Wikipédia en français (auteurs)

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