Éléments de mathématique

Nicolas Bourbaki Premier tome de la « nouvelle édition » des Éléments de mathématique, 1970, chez Hermann.

Éléments de mathématique est un traité de mathématiques du groupe Nicolas Bourbaki composé de dix livres (divisés chacun en un ou plusieurs chapitres). Les premiers tomes furent publiés par les éditions Hermann à partir de 1940 d'abord sous forme de fascicules, puis sous forme de volumes reliés. Suite à un désaccord avec l'éditeur, la publication a été reprise dans les années 1970 par le CCLS, puis, dans les années 1980, par les éditions Masson. Depuis 2006, Springer Verlag réédite tous les fascicules.

Le singulier « mathématique » utilisé dans le titre est un fait volontaire des auteurs, qui pensent que la matière constitue un bloc unique, contrairement à ce que suggère son intitulé habituel. Inversement, les Éléments d'histoire des mathématiques, des mêmes auteurs, adoptent le pluriel, pour indiquer qu'avant Bourbaki, les mathématiques étaient un ensemble épars de disciplines, et que c'est la notion moderne de structure qui a permis leur unification.

Plan

• Livre I : Théorie des Ensembles   (désigné par E)

1. Description de la mathématique formelle
2. Théorie des ensembles
3. Ensembles ordonnés, Cardinaux, Nombres entiers
4. Structures

Fascicule de résultats

• Livre II : Algèbre   (désigné par A)

1. Structures algébriques
2. Algèbre linéaire
3. Algèbres tensorielles, algèbres extérieures, algèbres symétriques
4. Polynômes et fractions rationnelles
5. Corps commutatifs
6. Groupes et corps ordonnés
7. Modules sur les anneaux principaux
8. Modules et anneaux semi-simples
9. Formes sesquilinéaires et formes quadratiques
10. Algèbre homologique

• Livre III : Topologie générale   (désigné par TG)

1. Structures topologiques
2. Structures uniformes
3. Groupes topologiques
4. Nombres réels
5. Groupes à un paramètre
6. Espaces numériques et espaces projectifs
7. Les groupes additifs
8. Nombres complexes
9. Utilisation des nombres réels en topologie générale
10. Espaces fonctionnels

• Livre IV : Fonctions d'une variable réelle   (désigné par FVR)

1. Dérivées
2. Primitives et intégrales
3. Fonctions élémentaires
4. Équations différentielles
5. Étude locale des fonctions
6. Développements tayloriens généralisés. Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
7. La fonction gamma

• Livre V : Espaces vectoriels topologiques   (désigné par EVT)

1. Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué
2. Ensembles convexes et espaces localement convexes
3. Espaces d'applications linéaires continues
4. La dualité dans les espaces vectoriels topologiques
5. Espaces hilbertiens (théorie élémentaire)

• Livre VI : Intégration   (désigné par INT)

1. Inégalités de convexité
2. Espaces de Riesz
3. Mesures sur les espaces localement compacts
4. Prolongement d'une mesure espaces L^p
5. Intégration des mesures
6. Intégration vectorielle
7. Mesure de Haar
8. Convolution et représentations
9. Intégration sur les espaces topologiques séparés

• Livre VII : Algèbre commutative   (désigné par AC)

1. Modules plats
2. Localisation
3. Graduations, filtrations et topologies
4. Idéaux premiers associés et décomposition primaire
5. Entiers
6. Valuations
7. Diviseurs
8. Dimension
9. Anneaux locaux noethériens complets
10. Profondeur, régularité, dualité

• Livre VIII : Variétés différentielles et analytiques   (désigné par VAR)

Fascicule de résultats

• Livre IX : Groupes et algèbres de Lie   (désigné par LIE)

1. Algèbres de Lie
2. Algèbres de Lie libres
3. Groupes de Lie
4. Groupes de Coxeter et systèmes de Tits
5. Groupes engendrés par des réflexions
6. Systèmes de racines
7. Sous-algèbres de Cartan éléments réguliers
8. Algèbres de Lie semi-simples déployées
9. Groupes de Lie réels compacts

• Livre X : Théories spectrales  (désigné par TS)

1. Algèbres normées
2. Groupes localement compacts commutatifs

• Livre XI : Éléments d'histoire des mathématiques

Évolution du projet

Le premier volume à être publié, en 1939, fut le Fascicule de résultats de la Théorie des ensembles. La publication des volumes suivants ne respecta pas l'ordre du traité. Ainsi le dixième chapitre de l’Algèbre commutative fut le dernier volume publié en 1998. Les Éléments de mathématique restent, encore à ce jour, inachevés.

Les premières versions sont disponibles en ligne. La plupart des livres publiés étaient épuisés depuis des années. L'éditeur Springer a cependant entrepris en 2006 leur réédition. À cet effet, ont été réédités d'abord : Algèbre commutative, Groupes et algèbres de Lie et la Théorie des ensembles, puis tous les autres livres.

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