Égalité (mathématiques)

En mathématiques, l’égalité est une relation binaire entre objets (souvent appartenant à un même ensemble) signifiant que ces objets sont identiques, c’est-à-dire que le remplacement de l’un par l’autre dans une expression ne change jamais la valeur de cette dernière. Une égalité est une proposition (qu’elle soit vraie ou fausse) pouvant s’écrire à l’aide du signe égal (« = ») séparant deux expressions mathématiques de même nature (nombres, vecteurs, fonctions, ensembles…) ; la proposition contraire s’écrit à l’aide du symbole de différence : « ≠ ».

Une égalité peut apparaître comme une affirmation, une définition de notation ou encore comme une équation. Dans le premier cas, les expressions égalées ne comprennent que des variables précédemment définies ou introduites par un quantificateur extérieur, comme dans l'identité remarquable :

pour tous a et b réels, on a (a + b)² = a² + 2ab + b².

Dans le cas d'une définition de notation, une ou plusieurs nouvelles variables apparaissent dans l'égalité (en général dans le membre de gauche) et pourront être utilisées par la suite dans le raisonnement, comme dans l'exemple suivant où les variables a, b et c sont supposées déjà définies :

on note Δ = b² − 4ac.

Dans le cas d'une équation, une ou plusieurs variables appelées « inconnues » sont contraintes à ne prendre que certaines valeurs appelées « solutions ». Dans d'autres sciences, le terme « équation » peut cependant être utilisé pour affirmer une relation entre des grandeurs sans que ces grandeurs ne soient nécessairement considérées comme inconnues.

Le symbole « = » est parfois utilisé en mathématiques pour d'autres usages que l'égalité.

• En analyse, les notations u_n = O(n) (resp. o(n)) signifie que la suite u est dominée par n (resp. négligeable devant n). Ce n'est pas à proprement parler une égalité puisque la notation O(n) (resp. o(n)) n'a pas de sens en tant que telle, et désigne dans les développements asymptotiques n'importe quelle suite dominée par n (resp. négligeable devant n).
• En algorithmique, et par la suite dans certains langages de programmation, la notation a = b signifie qu'on affecte à la variable a la valeur de b. Ceci entraîne que l'instruction a = a + 1 est valable : la valeur représentée par a est augmentée de 1. Afin de différencier les notations, on peut précéder le signe d'égalité de deux points, la notation devenant : « a := a + 1 ». Dans d'autres langages c'est le signe d'égalité qui est modifié en « == », le signe d'affectation restant « = ».

Dans un ensemble, la relation d'égalité est la seule relation binaire à la fois réflexive, symétrique, antisymétrique, et transitive. C'est en effet la seule relation d'équivalence qui soit également une relation d'ordre.

Pour les propositions logiques, on utilise plutôt les symboles d’équivalence ≡, ↔ ou ⇔.

Construction logique

La logique des prédicats contient des axiomes standards pour les égalités qui formalisent les lois de Leibniz, énoncées par le philosophe Leibniz au XVII^e siècle. L'idée de Leibniz était que deux choses sont identiques si et seulement si (ssi) elles ont les mêmes propriétés. En formalisant

Pour tout x et y, (x = y) si et seulement si (pour tout prédicat P, P(x) ssi P(y))

Cependant, dans la logique de premier ordre, on ne peut pas quantifier les prédicats. Nous avons donc besoin d'un schéma d'axiomes :

Pour tout x et y, si x = y alors P(x) ssi P(y).

Cette série d'axiomes valable pour tout prédicat P à une variable, ne prend en compte qu'un seul sens de l'implication: si x = y alors x et y ont les mêmes propriétés.

Pour construire la réciproque, il suffit d'ajouter : pour tout x, x = x

Ainsi, si x et y ont les mêmes propriétés, pour le prédicat P défini par P(z) ssi x = z, nous avons P(x) ssi P(y). Or P(x) est réalisé, donc P(y) est vrai : x = y

Gottlob Frege, s’inspirant de Leibniz, considérait que deux objets sont égaux si et seulement si on peut les substituer l’un pour l’autre partout.

Quelques propriétés logiques élémentaires sur les égalités

Substitution

• Pour toutes quantités a et b, et pour toute expression F(x), si a = b alors F(a) = F(b)

Dans la logique du premier ordre, ceci correspond en réalité à un schéma d'axiome, car nous ne pouvons pas quantifier des expressions comme F (prédicat fonctionnel)

Quelques exemples:

• Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors a + c = b + c (ici F(x) = x + c)
• Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors a - c = b - c (ici F(x) = x - c)
• Pour tous réels a, b et c, si a = b, alors ac= bc (ici F(x) = xc)
• Pour tous réels a, b et c, si a = b et c non nul, alors a/c= b/c (ici F(x) = x/c)

Les deux premiers axiomes sont les notions communes 2 et 3 du premier livre des Éléments d'Euclide.

Réflexivité

• Pour toute quantité a, a = a

Symétrie

• Pour toutes quantités a et b, si a = b, alors b = a

Transitivité

• Pour toutes quantités, x, y et z, si x = y et y = z, alors x = z

Remarque : la relation « est approximativement égal à » dans l'ensemble des réels, n'est pas transitive malgré les apparences, car une somme de petites erreurs finissent par faire une grosse différence. La relation « est égal presque partout », elle, reste une relation transitive

Bien que les propriétés de symétrie et de transitivité soient souvent considérées comme fondamentales (avec la réflexivité, elles caractérisent toutes les relations d'équivalence), elles ne sont ici que des conséquences des propriétés de réflexivité et de substitution.

Histoire de la notation

Le signe = a été introduit par Robert Recorde en 1557, dans Whetstone of Witte pour épargner à tous ceux qui effectuaient des calculs (lui, en particulier) d'avoir à écrire est égal en toutes lettres. Il semblerait que ce signe représentait la gémellité (deux lignes de même longueur), apparemment synonyme, pour lui, d'égalité.

Dans l'Égypte ancienne, ce signe existait déjà et symbolisait l'amitié, par opposition à deux lignes se croisant, symbole d'inimitié.

Lien formel avec l’égalité sociale

L'égalité sociale est définie par le mathématicien Norbert Wiener comme l’expression d'une substitution : l’égalité en vertu de laquelle ce qui est juste pour A et pour B demeure juste lorsque les situations respectives de A et de B sont interverties.^{[réf. nécessaire]}

Voir aussi

• Gottlob Frege
• Willard Van Orman Quine
• Théorème de Richardson

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