Z/nZ

Z/nZ

Anneau Z/nZ

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, Z/nZ est un cas particulier d'anneau.

Tout anneau unitaire contient soit un sous-anneau isomorphe à Z/nZ soit à Z l'anneau des entiers.

Cet anneau joue un rôle particulier en arithmétique, il est en effet l'outil de base de l'arithmétique modulaire.

L'article Congruence sur les entiers traite le même sujet avec une approche plus didactique et moins exhaustive, tandis que l'article Arithmétique modulaire traite de l'histoire de ce concept, des outils utilisés ainsi que de ses applications.

Sommaire

Construction de Z/nZ

Idéaux de Z

Article détaillé : Idéal.

La division euclidienne dans Z montre que cet ensemble est un anneau euclidien, en conséquence Z est un anneau principal. Cela signifie que pour tout idéal I de Z, il existe un entier n tel que I est égal à nZ. Comme les idéaux nZ et -nZ sont confondus, il est toujours possible de choisir n positif. Dans toute la suite de l'article n désigne un entier positif.

Anneau quotient

Article détaillé : Anneau quotient.

La construction de Z/nZ correspond à la construction générale des anneaux quotients. Ici la relation d'équivalence correspond à la classique congruence sur les entiers. Un élément de Z/nZ est la classe des éléments ayant tous le même reste par la division euclidienne par n.

Un élément est identifié par un membre de sa classe, souvent l'entier compris entre 0 et n - 1. Il est parfois noté \scriptstyle\dot a ou \scriptstyle\bar a, ainsi dans Z/6Z, \scriptstyle\bar 2 désigne la classe contenant les éléments 2, 8, 14 etc... Quand il n'existe pas d'ambigüité, on utilise simplement la lettre a.

  • Les éléments de Z/nZ sont appelés classes modulo n ou résidu.

Propriétés

Propriétés élémentaires

Article détaillé : Anneau (mathématiques).

La théorie des anneaux permet directement de démontrer certaines propriétés de l'anneau.

  • L'anneau Z/nZ est unitaire.

C'est une conséquence directe du fait que Z l'est.

  • L'anneau Z/nZ est principal et de Bézout.

Un anneau est principal si et seulement si tous ses ideaux sont principaux. Si un anneau est principal, son quotient par un idéal est aussi principal, or Z est un anneau principal. En pratique et comme pour Z, tous les sous-groupes additifs et tous les sous-anneaux sont aussi des idéaux principaux. Si m est un diviseur de n alors il existe un unique ideal de Z/nZ isomorphe à Z/mZ, ce résultat est une conséquence directe de la troisième proposition du paragraphe Théorème fondamental de l'article groupe cyclique.

Un anneau est dit de Bézout si et seulement si pour tout élément a et b n'ayant comme diviseurs communs que les éléments inversibles, il existe deux éléments α et β tel que α.a + β.b = 1. Z/nZ est un anneau de Bézout car tout anneau principal l'est.

Si n n'est pas premier, alors l'anneau Z/nZ n'est pas intègre, il n'est donc ni euclidien ni factoriel.

Structure additive

Article détaillé : Groupe cyclique.

La structure du groupe (Z/nZ) est celle d'un groupe monogène, c'est-à-dire engendré par un unique élément. Si n est égal à 0 on obtient un groupe isomorphe à Z et à n'importe quel groupe monogène d'ordre infini.

Si n est différent de 0, alors le groupe est cyclique, sa structure est explicité dans l'article détaillé.

Théorème chinois

Article détaillé : Théorème des restes chinois.

La logique du théorème chinois s'applique encore, ainsi les propriétés du paragraphe Théorème chinois de l'article Groupe cyclique s'appliquent encore. Il suffit pour les vérifier de valider que le morphisme de groupe utilisé est aussi un morphisme d'anneau.

Note : Si u et v ne sont pas premiers entre eux, alors l'anneau produit ne contient pas d'élément d'ordre supérieur au ppcm de u et de v. Cet anneau n'est donc pas isomorphe à l'anneau Z/u.vZ.

Cette proposition entraîne une décomposition unique de Z/nZ en facteurs premiers. Le théorème fondamental de l'arithmétique montre que n se décompose de la manière unique suivante:

n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}\;

Ou (pi) est une famille de k nombres premiers tous distincts et αi des entiers supérieurs ou égaux à un. Les puissances des nombres premiers du produit sont tous premiers entre eux. Une simple récurrence montre :

  • Z/nZ se décompose de manière unique en un produit de d'anneaux quotients de Z de cardinal une puissance d'un nombre premier.

Cas où Z/nZ est un corps

Article détaillé : Corps (mathématiques).

En effet, cette proposition est une conséquence directe de l'identité de Bézout. Supposons n premier, alors si a est un entier premier avec n, c'est-à-dire non multiple de n, il existe deux entiers b et c tel que :

ab + nc = 1\;

Ce qui signifie que la classe de a est inversible d'inverse la classe de b.

Réciproquement si n n'est pas premier, il existe deux entiers a et b différents de n et de 1 tel que leur produit est égal à n. La classe de a ainsi que la classe de b sont des diviseurs de zéro, ce qui n'existe pas dans un corps.

Caractéristique d'un anneau

Article détaillé : Caractéristique d'un anneau.

Soit A un anneau unitaire, il existe un unique morphisme d'anneau φ de Z dans A qui à 1Z associe 1A. Soit n l'entier positif tel que le noyau de φ soit égal à nZ. La décomposition canonique de φ (cf le paragraphe Morphisme d'anneau de l'article Idéal) montre qu'il existe un sous-anneau de A isomorphe à Z/nZ.

  • L'entier n est appelé caractéristique de l'anneau A.

Ainsi, tout anneau unitaire contient un sous-anneau isomorphe soit à Z dans le cas où n est égal à 0, soit à Z/nZ. C'est une des raisons qui rend cette famille d'anneau intéressante.

Groupe des unités

Article détaillé : Groupe des unités.

Le groupe des unités d'un anneau correspond au groupe multiplicatif formé des éléments inversibles. De tels éléments sont appelés unité.

  • Soit m un entier, sa classe est une unité si et seulement si m est premier avec n.

Si m est premier avec n alors il est inversible, sinon soit d un diviseur commun différent de un, soit k l'entier tel que d.k = n, le fait que m.k soit un multiple de n montre que m est un diviseur de zéro et donc est non inversible.

  • L'ordre du groupe des unités est égal à φ(n) si φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.

Un élément du groupe additif Z/nZ est générateur si et seulement s'il est premier avec n, car son ordre est alors égal à n. Or le paragraphe Indicatrice d'Euler de l'article Groupe cyclique montre que le nombre d'éléments générateurs est égal à φ(n).

Cas où n est premier

Article détaillé : exposant d'un groupe.

Dans le cas où n est premier c'est-à-dire si l'anneau est un corps, la structure est la suivante :

  • Si n est un nombre premier, le groupe des unités du corps Z/nZ est un groupe cyclique d'ordre n - 1.

En effet, tout élément autre que celui nul est inversible, l'ordre du groupe multiplicatif est donc n - 1. Le groupe multiplicatif est naturellement fini, il admet un exposant e, l'exposant est le plus petit commun multiple des ordres des différents éléments du groupe multiplicatif. Considérons le polynôme de Z/nZ[X] suivant : Xe - 1. Il admet pour racines tous les éléments du groupe multiplicatif donc n - 1 racines différentes. Or tout polynôme à coefficients dans un corps possède un degré supérieur ou égal à son nombre de racines. On en déduit que e est supérieur ou égal à n - 1. Le théorème de Lagrange, qui a pour corolaire le fait que l'ordre d'un élément est un diviseur de l'ordre du groupe, montre que e est égal à n - 1.

Pour conclure il suffit de constater que tout groupe abélien fini possède un élément d'ordre l'exposant, cette propriété est démontrée dans l'article détaillé. Le groupe multiplicatif possède un élément d'ordre le cardinal du groupe et qui est donc primitif, ce qui montre que le groupe est cyclique et termine la démonstration.

Remarque : un raisonnement de cette nature montre que tout groupe multiplicatif fini d'un corps commutatif est aussi cyclique.

Cas où n n'est pas premier

Dans le cas où n n'est pas premier, la structure est naturellement celle d'un groupe abélien fini elle correspond donc à un produit de groupes cycliques d'après le théorème de Kronecker. La structure est plus complexe que celle du cas précédent, plusieurs propositions sont nécessaires pour l'expliciter.

  • Soit n et m deux entiers premiers entre eux, le groupe des unités de Z/n.mZ est isomorphe au produit direct des groupes des unités de Z/nZ et de Z/mZ.

C'est une conséquence du théorème chinois.

Le théorème fondamental de l'arithmétique limite alors l'étude au cas ou n est égal à pr avec p un nombre premier et r un entier strictement positif. Deux configurations se présentent :

  • Si p est égal à deux et r supérieur ou égal à trois, le groupe des unités est le produit direct d'un groupe d'ordre deux engendré par la classe de -1 et d'un groupe cyclique engendré par la classe de 5.
  • Si p est différent de deux, alors le groupe des unités est cyclique.

Tous les cas ne sont pas traités, il reste celui ou p est égal à deux et r est égal à un ou deux. Cependant ces cas sont triviaux, le groupe contient un ou deux éléments et par conséquent est cyclique.


Démonstration
  • Soit m un entier, sa classe est une unité si et seulement si m est premier avec n.

Si m n'est pas premier avec n, ils ont un diviseur a commun différent de 1 et de n. Soit b l'entier tel que a.b soit égal à n, alors la classe de m.b est la classe nulle donc les classes de m et de b sont des diviseurs de zéro.

Réciproquement si m est premier avec n, alors l'identité de Bézout montre l'existence d'un entier a tel que la classe de a.m est celle de l'unité, en conséquence m est une unité.

  • L'ordre du groupe des unités est égal à φ(n) si φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.

C'est une conséquence directe de la proposition précédente, φ(n) désigne exactement le nombre d'entier inférieur à n et premier avec n.

  • Si p est égal à deux et r supérieur ou égal à trois, le groupe des unités est le produit direct d'un groupe d'ordre deux engendré par la classe de -1 et d'un groupe cyclique engendré par la classe de 5.

Pour démontrer cette proposition vérifions d'abord l'égalité suivante par récurrence sur k :

\forall k \in \mathbb N^* \quad \exists \lambda \in \mathbb N \quad 5^{2^k}=1+\lambda .2^{k+2} \quad avec \quad \lambda \land 2=1

Pour k égal à 1, l'égalité est vrai avec λ égal à 3. Supposons le résultat vrai pour k et montrons le pour k + 1

5^{2^{k+1}}=(5^{2^k})^2=(1+\lambda .2^{k+2})^2=1 +(4\lambda^2+\lambda)2^{k+3}
Il existe un morphisme ψ de groupe de Z/2rZ* dans Z/4Z*.

L'anneau quotient de cardinal 2r admet un idéal de cardinal 2r - 2 car le deuxième cardinal divise le premier. Le quotient de Z/2rZ par Z/2r-2Z est isomorphe à l'anneau Z/4Z. Soit ψ' le morphisme d'anneau de Z/2rZ dans Z/4Z, sa restriction ψ au groupe des unités est le morphisme recherché.

Le groupe des unités est isomorphe au produit direct du noyau de ψ et du groupe {-1, 1}.

L'application ψ a pour ensemble de départ un groupe d'ordre 2r-1 et un ensemble d'arrivé un groupe d'ordre 2 car φ(2r) = 2r-1 si φ désigne l'indicatrice d'Euler. Ceci démontre que l'ordre du noyau de ψ est égal à 2r-2. Ce noyau contient 5, en effet ψ(5) = 5ψ(1) = 1 dans (Z/4Z)*. Toutes les puissances de 5 sont dans le noyaux de ψ car 5 l'est, or la première égalité démontrée dans cette preuve affirme que 5 est d'ordre 2r-2 car λ est impair. Donc le noyau de ψ est un groupe cyclique d'ordre 2r-2.

L'élément -1 possède comme image 3 par ψ, il n'est donc pas dans le noyau, le groupe {-1, 1} est d'intersection réduite à l'unité avec le noyau, ils sont donc en somme directe (cf produit direct). le produit des ordre du noyau et de celui du groupe {-1, 1} est égal à l'ordre du groupe des unités, la somme directe est donc égale au groupe des unités, ce qui termine la démonstration.

  • Si p est différent de deux, alors le groupe des unités est cyclique.

La démonstration est analogue à la précédente. Pour démontrer cette proposition vérifions d'abord l'égalité suivante par récurrence sur k :

\forall k \in \mathbb N^* \quad \exists \lambda \in \mathbb N \quad (1+p)^{p^k}=1+\lambda .p^{k+1} \quad avec \quad \lambda \land p = 1

La formule du binôme de Newton montre que, si k est égal à 1, il existe un entier m tel que :

(1+p)^p=1 + p^2 + mp^3 \quad et \quad \lambda = 1 + mp

Supposons la propriété vraie à l'ordre k et montrons là à l'ordre k + 1.

(1+p)^{p^{k+1}}=((1+p)^{p^k})^p =(1+\lambda .p^{k+1})^p =1 + \lambda p^{k+2} + m'p^{k+3}
Le groupe multiplicatif contient un élément d'ordre p - 1 et un élément d'ordre pr-1.

L'égalité précédente montre que p + 1 est d'ordre un diviseur de pr-1 et comme λ est premier avec p son ordre n'est pas un diviseur de pr-2 son ordre est donc bien pr-1.

Considérons alors ψ le morphisme surjectif du groupe des unités dans le groupe Z/pZ*. Son existence est démontrée par un raisonnement analogue au précédent. Le groupe d'arrivée est un groupe cyclique d'ordre p - 1 car p est premier (cf le cas où n est premier). Soit a un antécédent d'un élément générateur du groupe d'arrivée. Il génère un groupe cyclique d'ordre un multiple de p - 1. Ce groupe cyclique donc contient au moins un élément b d'ordre p - 1 et b engendre un groupe cyclique d'ordre p - 1.

Le groupe des unités est cyclique

Considérons un élément de l'intersection des groupes engendrés par b et p + 1. Son ordre est un diviseur de pr-1 et de p - 1, d'après le théorème de Lagrange. Comme p est premier son ordre est égal à 1, l'intersection est donc réduite à l'unité. Le raisonnement précédent montre que le groupe des unités est le produit direct d'un groupe cyclique d'ordre p - 1 et d'un autre d'ordre pr-1 car φ(pr) = (p - 1)pr-1. De plus les deux groupes cycliques ont deux ordres premiers entre eux, le théorème chinois permet de conclure que le groupe est cyclique, ce qui termine la démonstration.

Voir aussi

Liens externes

Références

Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]

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