- Théorèmes de Dini
-
En mathématiques, et plus précisément en topologie, les théorèmes de Dini énoncent des conditions sous lesquelles la convergence simple implique la convergence uniforme. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien italien Ulisse Dini.
Sommaire
Énoncés des théorèmes de Dini
Les espaces de fonctions réelles peuvent être munis de topologies différentes, auxquelles sont associées des notions différentes de convergence de fonction, dont la convergence simple et la convergence uniforme :
- La convergence simple et la convergence uniforme ne nécessitent aucune structure particulière sur l'ensemble de définition. La convergence simple est en général plus facile à obtenir que la convergence uniforme. Malheureusement, elle ne préserve pas la continuité : la limite simple de fonctions continues définies sur un espace topologique n'est pas continue en général.
- La convergence uniforme se définit pour des suites de fonctions définies sur un espace quelconque, à valeurs dans un espace métrique (ou plus généralement, dans un espace uniforme, comme un groupe topologique). Plus difficile à prouver, la convergence uniforme offre l'avantage de préserver la continuité : la limite uniforme de fonctions continues à valeurs dans un espace métrique est continue.
La convergence uniforme implique la convergence simple, mais l'inverse est faux dès que l'espace de départ est infini. Les théorèmes de Dini donnent des conditions sous lesquelles la convergence simple d'une suite de fonctions réelles implique sa convergence uniforme. Ce sont donc des outils très efficaces en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément. Les théorèmes de Dini demandent que l'espace de départ possède une structure particulière, et que l'espace d'arrivée soit
.
Le premier théorème de Dini peut être vu comme une version pour les intégrales de Riemann du théorème de convergence monotone.
Premier théorème
Le premier théorème s'énonce :
- La convergence simple d'une suite monotone de fonctions définies et continues sur un espace compact vers une fonction continue implique sa convergence uniforme.
Formellement, on dispose d'un espace topologique
, d'une suite de fonctions
, et on fait les hypothèses suivantes :
- Continuité : Les fonctions
et la fonction
sont continues sur
;
- Monotonie : la suite
est soit croissante (
), soit décroissante (
) ;
- Compacité :
est compact et donc de tout recouvrement ouvert de
on peut extraire un sous-recouvrement fini.
- Convergence simple : Pour tout
de
, la suite de réels
converge vers
.
On en déduit alors que la suite
converge uniformément sur
vers
.
Deuxième théorème
Le deuxième théorème de Dini s'énonce ainsi :
- La convergence simple d'une suite de fonctions réelles d'une variable réelle définies et croissantes sur un intervalle
de
vers une fonction continue sur
implique la convergence uniforme.
Formellement, on dispose d'un intervalle
de
et d'une suite
de fonctions (non-nécessairement continues) de
dans
. On fait les hypothèses suivantes :
- Continuité : La fonction
est continue ;
- Monotonie : Pour tout entier
et pour tout couple
tel que
, on a :
;
- Convergence simple : Pour tout
de
, la suite de réels
converge vers
.
On en déduit que la suite
converge uniformément sur
vers la fonction
.
Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya[1].
Convergence uniforme des fonctions de répartitions
Le deuxième théorème de Dini possède un corollaire précieux en probabilités et en statistique:
- Une suite de fonctions de répartition qui converge simplement sur R vers une fonction de répartition continue F, converge uniformément vers F sur R.
En conséquence, la convergence uniforme des fonctions de répartitions a lieu dans le cas du théorème de la limite centrale, où la fonction de répartition limite est celle de la loi normale, et est, à ce titre, continue. Cela a des conséquences non anecdotiques en probabilités et statistique, comme, par exemple, le théorème de la limite centrale pour la médiane, ou bien le théorème de la limite centrale pour les processus de renouvellement.
Un détour par l'équicontinuité
Le premier théorème de Dini peut se déduire, via le lemme suivant, du théorème d'Ascoli, ou simplement d'une propriété fondamentale de l'équicontinuité qu'on utilise pour prouver ce dernier.
- La convergence simple d'une suite monotone de fonctions continues vers une fonction continue implique son équicontinuité.
Notons que dans ce lemme purement local, l'espace de départ n'est pas supposé compact.
Démonstrations
Les démonstrations proposées reprennent les notations introduites ci-dessus.
Du premier théorème
Supposons que la suite
est décroissante (si elle est croissante, on se ramène au cas décroissant en remplaçant les fonctions
et
par leurs opposées) et que de plus
(on s'y ramène en remplaçant les
par
).
On a alors
.
Fixons un nombre réel
0~" border="0"> et considérons les ensembles
. Par continuité des fonctions
, ces ensembles sont des ouverts (en fait il suffirait, dans le cas décroissant, de supposer les
semi-continues supérieurement et
semi-continue inférieurement). La convergence simple de
vers 0 se traduit par :
.
Comme
est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un entier
tel que
.
Par monotonie, la suite Vn(ε) est croissante. Il vient donc :
.
A nouveau en utilisant l'hypothèse de monotonie,
.
Donc la convergence de
vers 0 est uniforme sur
.
Du deuxième théorème
Soit un réel
0~" border="0">. La fonction
est non seulement continue et bornée (par hypothèse) mais aussi croissante (comme limite simple de fonctions croissantes). En choisissant
f(b)-f(a)\over\varepsilon}," border="0">
il existe une subdivision
de
telle que
Pour tout
, soit
tel que
. La croissance de
et des
et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier
)
et
f_n(a_i)-f(a_i)-\varepsilon. " border="0">
Par convergence simple, il existe un entier Nε tel que
Les inégalités précédentes donnent alors :
Donc la convergence de
vers
est uniforme sur
.
De la convergence uniforme des fonctions de répartitions
Notons
la suite de fonctions de répartition qui converge vers
. Pour
, posons, par exemple:
puis
Posons aussi:
Ainsi
est croissante sur
, parce que
et
sont croissantes (sur
et
, respectivement) ;
converge simplement vers
sur
, parce que
converge simplement vers
sur
;
- par propriété des fonctions de répartition, et comme la limite de
en 0 (resp. en 1) est
(resp.
), on en déduit que
est continue en 0 et en 1 ;
est continue sur
comme composée des fonctions continues
et
.
Ainsi
converge uniformément vers
en vertu du deuxième théorème de Dini. La convergence uniforme de
vers
en découle.
Du détour par l'équicontinuité
Supposons, comme dans la preuve du premier théorème, que la suite
est décroissante et converge simplement vers
.
Fixons un un point
de
et un nombre réel
0~" border="0">. Puisque
tend vers
, il existe un entier
tel que fn(x) < ε.
Par continuité en
de
, il existe un voisinage
de
tel que pour tout point
de
,
.
On en déduit en particulier fn(y) < 2ε, d'où (par décroissance de la suite
)
,
si bien que finalement
,
ce qui prouve l'équicontinuité au point
de la suite
.
Notes et références
- Pólya-Szegö, Problems and Theorems in Analysis
Voir aussi
Wikimedia Foundation. 2010.