Théorème intégral de Cauchy

Théorème intégral de Cauchy
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D'après ce théorème, si deux chemins différents relient les deux mêmes points et si une fonction est holomorphe « entre » les deux chemins, alors les deux intégrales de cette fonction suivant ces chemins sont égales.

Le théorème est habituellement formulé pour les chemins fermés de la manière suivante : soit U un sous-ensemble ouvert de \mathbb C qui est simplement connexe, soit f:U\rightarrow \mathbb C une fonction holomorphe, et soit γ un chemin rectifiable dans U dont le point de départ est confondu avec le point d'arrivée (c'est-à-dire un lacet), alors :

\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = 0 \,

Comme cela a été montré par Goursat, (voir Lemme de Goursat) le théorème intégral de Cauchy peut être démontré en supposant seulement que la dérivée complexe de f existe en tout point de U. Ceci est très intéressant, parce que nous pouvons alors démontrer la formule intégrale de Cauchy pour ces fonctions, et de cela nous pouvons déduire que ces fonctions sont en fait indéfiniment continûment dérivables.

La condition que U est simplement connexe signifie que U n'a pas de « trou » ; par exemple, tout disque ouvert U = \{ z, \mid z - z_0 \mid < r \} \, satisfait à cette condition. La condition est cruciale; par exemple, si γ est le chemin défini par :

\gamma(t) = \exp( 2\pi it)\,

où exp est la fonction exponentielle, qui décrit le cercle unité, alors l'intégrale sur ce chemin

\int_\gamma \frac{1}{z} \mathrm{d}z = 2\pi i

est non nulle ; le théorème intégral de Cauchy ne s'applique pas ici puisque f(z) = 1/z n'est pas défini (et donc f n'est certainement pas holomorphe) en z = 0.

Une conséquence importante du théorème est que l'intégrale curviligne de fonctions holomorphes sur des domaines simplement connexes peut être calculée d'une manière familière à partir du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral : soit U un ouvert simplement connexe de \mathbb C, soit f:U\rightarrow \mathbb C une fonction holomorphe, et soit γ un chemin continûment différentiable dans U dont le point de départ est a et le point d'arrivée b. Si F est une primitive complexe de f, alors

\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = F(b) - F(a)\,

Le théorème intégral de Cauchy est valable sous une forme légèrement plus forte que celle donnée ci-dessus. Supposons que U soit un ouvert simplement connexe de \mathbb C dont la frontière est l'image du chemin rectifiable γ. Si f est une fonction qui est holomorphe sur U et continue sur l'adhérence de U, alors

\int_\gamma f(z) \mathrm{d}z = 0\,

Le théorème intégral de Cauchy est considérablement généralisé par le théorème des résidus.

Surfaces de Riemann

Le théorème intégral de Cauchy se généralise dans le cadre de la géométrie des surfaces de Riemann.


v · Augustin Louis Cauchy
Règle de Cauchy • Produit de Cauchy • Critère de Cauchy • Théorème de Cauchy-Lipschitz • Équations de Cauchy-Riemann • Inégalité de Cauchy • Théorème de Cauchy • Loi de Cauchy • Formule de Binet-Cauchy
Théorème de la moyenne de Cauchy • Théorème de Cauchy-Kovalevskaïa • Théorème intégral de Cauchy • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Formule intégrale de Cauchy

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème intégral de Cauchy de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme integral de Cauchy — Théorème intégral de Cauchy Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D après ce… …   Wikipédia en Français

  • Théorème intégral de cauchy — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D après ce théorème, si deux chemins… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy (surfaces de Riemann) — Théorème intégral de Cauchy Pour les articles homonymes, voir Cauchy. En analyse complexe, le théorème intégral de Cauchy est un important résultat concernant les intégrales curvilignes de fonctions holomorphes dans le plan complexe. D après ce… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des residus — Théorème des résidus Le théorème des résidus en analyse complexe est un outil puissant pour évaluer des intégrales curvilignes de fonctions holomorphes sur des courbes fermées ; il peut aussi bien être utilisé pour calculer des intégrales de …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Cauchy — Théorème de Cauchy Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Augustin Louis Cauchy a laissé son nom à plusieurs théorèmes. En théorie des groupes, le théorème de Cauchy. En algèbre bilinéaire, l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de cauchy — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Augustin Louis Cauchy a laissé son nom à plusieurs théorèmes. En théorie des groupes, le théorème de Cauchy. En algèbre bilinéaire, l inégalité de Cauchy… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green-Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Green Riemann — Théorème de Green Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de green — Articles d analyse vectorielle Objets …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Cauchy-Lipschitz — Pour les articles homonymes, voir Cauchy. Cauchy développe une première version du théorème de l article. En mathématiques, et plus précisément en a …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”