Théorème de convergence dominée

Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Sommaire

Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs réelles ou complexes, telle que :

\forall n\in\N,\forall x\in E,|f_n(x)|\le g(x).

Alors f est intégrable et

\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|~\mathrm d\mu=0,

ce qui entraîne :

\lim_{n\to\infty}\, \int_E f_n~\mathrm d\mu=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.
Démonstration par le le lemme de Fatou

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Commençons par montrer que f est intégrable :

puisque f est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout n on a |f_n(x)|\le g(x), par passage à la limite, |f(x)|\le g(x),\forall x\in E donc f est intégrable.


Ensuite, on a 2g-|f_n-f|\ge0 donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

\begin{align} \int2g~\mathrm d\mu&\le\liminf\int(2g-|f_n-f|)~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu+\liminf\int-|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu-\limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \end{align}

et comme \int g~\mathrm d\mu< \infty \; alors, \limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\le0

d'où

\lim\int|f_n-f|~\mathrm d\mu=0

et donc on en déduit :

\begin{align} \ & \left|\int(f_n-f)~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \Rightarrow & \left|\int f_n~\mathrm d\mu-\int f~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\rightarrow0\\ \Rightarrow & \int f_n~\mathrm d\mu\rightarrow\int f~\mathrm d\mu. \end{align}

\square
Démonstration par le théorème de convergence monotone

Posons

g_n=|f_n-f|,\quad\text{puis}\quad h_n=\sup_{m\geq n}g_m\quad\text{et}\quad k_n=2g-h_n.

Les kn forment une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite 2g. D'après le théorème de convergence monotone on a donc

\lim\int k_n~\mathrm d\mu=\int 2g~\mathrm d\mu,

et par conséquent

\lim\int h_n~\mathrm d\mu=0,\quad\text{puis}\quad\lim\int g_n~\mathrm d\mu=0\quad\text{car}\quad 0\le g_n\le h_n.

La fin de la preuve est la même que précédemment.

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur (E,\mathcal A,\mu), un espace mesuré, à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} admet une limite presque partout , c'est-à-dire, \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) existe pour presque tout x\;
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, |f_{n}(x)|\leq g(x) μ- presque partout.

Alors

\lim_{n \to \infty} \int_{E}{ f_{n} \ d\mu}= \int_{E} \lim_{n \to \infty} f_{n} \ d\mu

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Démonstration

Soit N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x) \} , alors \mu\left( N_{k}\right) = 0 pour tout k\; car ces ensembles sont négligeables. En posant N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k} on a toujours \mu\left( N \right) = 0 et ainsi on peut redéfinir fk = 0 sur N ce qui permet de se ramener au théorème de convergence dominée dans le cas simple.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la première hypothèse peut être modifiée en :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Exemple d'application

Si f\in L^1(\mathbf{R}), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de convergence dominée de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de convergence dominee — Théorème de convergence dominée Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l intégration de Lebesgue. Sommaire 1 Le théorème de convergence dominée 2 Généralisation 3 Exemple d application …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de convergence monotone — Théorème de convergence monotone En mathématiques, le Théorème de convergence monotone est l un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue avec le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que la… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de convergence majorée et minorée — Théorème de convergence dominée Le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l intégration de Lebesgue. Sommaire 1 Le théorème de convergence dominée 2 Généralisation 3 Exemple d application …   Wikipédia en Français

  • Théorème de convergence monotone — En mathématiques, le théorème de convergence monotone, ou théorème de Beppo Levi, est l un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue avec le théorème de convergence dominée, qui s en déduit. Ce théorème indique que …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Beppo-Levi — Théorème de convergence monotone En mathématiques, le Théorème de convergence monotone est l un des théorèmes importants de la théorie des intégrales au sens de Lebesgue avec le théorème de convergence dominée. Ce théorème indique que la… …   Wikipédia en Français

  • Convergence Uniforme — Suite de fonctions convergeant uniformément vers la fonction valeur absolue. La convergence uniforme d une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dern …   Wikipédia en Français

  • Convergence Simple — En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est à dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C est une définition peu exigeante : elle est plus… …   Wikipédia en Français

  • Convergence ponctuelle — Convergence simple En mathématiques, la convergence simple ou ponctuelle est une notion de convergence dans un espace fonctionnel, c’est à dire dans un ensemble de fonctions entre deux espaces topologiques. C est une définition peu… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme d'Egoroff — Théorème d Egoroff Le théorème d’Egoroff, nommé ainsi en hommage à Dimitri Egoroff, un phycisien et géomètre russe, établit une condition de convergence uniforme dans certains espaces mesurables. Ce théorème peut servir en particulier à montrer… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme d'interversion serie-integrale — Théorème d interversion série intégrale Théorème d intégration termes à termes de la fonction somme d une série de fonctions Soit un espace vectoriel normé. Soit I un intervalle quelconque de . Soit une suite de fonctions de I dans …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”