Théorème de convergence dominée

Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Sommaire

Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit (f_n)_{n\in\N} une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (E,\mathcal A,\mu), à valeurs réelles ou complexes, telle que :

\forall n\in\N,\forall x\in E,|f_n(x)|\le g(x).

Alors f est intégrable et

\lim_{n\to\infty}\int_E|f_n-f|~\mathrm d\mu=0,

ce qui entraîne :

\lim_{n\to\infty}\, \int_E f_n~\mathrm d\mu=\int_E\lim_{n\to\infty}f_n~\mathrm d\mu=\int_Ef~\mathrm d\mu.
Démonstration par le le lemme de Fatou

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Commençons par montrer que f est intégrable :

puisque f est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout n on a |f_n(x)|\le g(x), par passage à la limite, |f(x)|\le g(x),\forall x\in E donc f est intégrable.


Ensuite, on a 2g-|f_n-f|\ge0 donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

\begin{align} \int2g~\mathrm d\mu&\le\liminf\int(2g-|f_n-f|)~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu+\liminf\int-|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \ & = \int2g~\mathrm d\mu-\limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \end{align}

et comme \int g~\mathrm d\mu< \infty \; alors, \limsup\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\le0

d'où

\lim\int|f_n-f|~\mathrm d\mu=0

et donc on en déduit :

\begin{align} \ & \left|\int(f_n-f)~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\\ \Rightarrow & \left|\int f_n~\mathrm d\mu-\int f~\mathrm d\mu\right|\le\int|f_n-f|~\mathrm d\mu\rightarrow0\\ \Rightarrow & \int f_n~\mathrm d\mu\rightarrow\int f~\mathrm d\mu. \end{align}

\square
Démonstration par le théorème de convergence monotone

Posons

g_n=|f_n-f|,\quad\text{puis}\quad h_n=\sup_{m\geq n}g_m\quad\text{et}\quad k_n=2g-h_n.

Les kn forment une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite 2g. D'après le théorème de convergence monotone on a donc

\lim\int k_n~\mathrm d\mu=\int 2g~\mathrm d\mu,

et par conséquent

\lim\int h_n~\mathrm d\mu=0,\quad\text{puis}\quad\lim\int g_n~\mathrm d\mu=0\quad\text{car}\quad 0\le g_n\le h_n.

La fin de la preuve est la même que précédemment.

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions mesurables sur (E,\mathcal A,\mu), un espace mesuré, à valeurs dans \mathbb R ou \mathbb C telle que :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} admet une limite presque partout , c'est-à-dire, \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) existe pour presque tout x\;
  • Il existe une fonction g \in L^1 telle que :
\forall n \in \mathbb N, |f_{n}(x)|\leq g(x) μ- presque partout.

Alors

\lim_{n \to \infty} \int_{E}{ f_{n} \ d\mu}= \int_{E} \lim_{n \to \infty} f_{n} \ d\mu

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Démonstration

Soit N_{k} = \{ x : |f_{k}(x)|\geq g(x) \} , alors \mu\left( N_{k}\right) = 0 pour tout k\; car ces ensembles sont négligeables. En posant N = \bigcup_{k=0}^{\infty} N_{k} on a toujours \mu\left( N \right) = 0 et ainsi on peut redéfinir fk = 0 sur N ce qui permet de se ramener au théorème de convergence dominée dans le cas simple.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité la première hypothèse peut être modifiée en :

  • La suite de fonctions (f_{n})_{n \in \mathbb{N}} converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Exemple d'application

Si f\in L^1(\mathbf{R}), sa transformée de Fourier \widehat{f}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-ixy}dx est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque \vert f(x)e^{-ixy}\vert=\vert f(x)\vert ; le théorème de convergence dominée permet de voir que \widehat{f}\, est séquentiellement continue, donc continue.

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