Theoreme d'interversion serie-integrale

Theoreme d'interversion serie-integrale

Théorème d'interversion série-intégrale

Théorème d'intégration termes à termes de la fonction somme d'une série de fonctions

Soit \mathbf{E} un espace vectoriel normé. Soit I un intervalle quelconque de \mathbb{R}. Soit (f_{n})_{n\in\mathbb{N}} une suite de fonctions de I dans \mathbb{C} continues par morceaux sur I, intégrables sur I. On suppose que la série de fonctions \sum f_{n} converge simplement sur I vers une fonction S continue par morceaux. On suppose de plus que la série numérique \sum\int_{I}\vert\vert f_{n} \vert\vert converge.

Alors la fonction S est intégrable et

{\int_{I}S}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}}

Théorème d'intégration termes à termes (version convergence uniforme sur un segment)

Soit I un segment de \mathbb{R} Soit (f_{n})_{n\in\mathbf{N}} une suite de fonctions continues sur I et à valeurs dans \mathbb{C}. On suppose que la série de fontions \sum f_{n} converge uniformément sur I vers une fonction S. Alors S est une fonction continue (d'après le théorème de récupération uniforme de la continuité), et:

{\int_{I}S}=\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{I}f_{n}}

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