- Théorème d'Abel (analyse)
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Le théorème d'Abel, ou théorème de convergence radiale d'Abel, nommé d'après Niels Henrik Abel, est un outil central de l'étude des séries entières.
Sommaire
Énoncé
Théorème — Soit
une série entière (à coefficients complexes) de rayon de convergence égal à R.
Si la série
converge, alors la limite
existe et est égale à la somme de cette série.
Remarque : dans le cas où la série
est absolument convergente, le résultat est trivial, il n'y a donc pas lieu d'invoquer ce théorème.
En effet, sous cette condition,
converge normalement donc uniformément sur [0,R] ; on retrouve immédiatement :
Exemples
Exemple (1) :Soit
Comme
converge (d'après le critère de convergence des séries alternées), on déduit du théorème d'Abel que :
Exemple (2) :Soit
Encore par le critère de convergence des séries alternées, on peut affirmer que
converge, d'où :
Démonstration
Quitte à effectuer un changement de variable linéaire u = x / R, on peut considérer uniquement le cas R = 1. De plus (en ajoutant une constante à a0) on se ramène au cas
. Notons Sn les sommes partielles de la série
. On a donc par hypothèse
et l'on doit montrer que
.
La démonstration repose sur la méthode classique de sommation par parties, équivalente à l'intégration par parties pour les intégrales.
Considérons
. On a (avec la convention S − 1 = 0) :
Comme la suite SN est bornée (car convergente), on en déduit que
Soit ε > 0. Il existe alors N0 tel que |Sn| ≤ ε pour tout n > N0, d'où :
Le majorant tend vers ε quand x tend vers 1, donc est inférieur à 2ε pour x assez proche de 1.
Réciproque partielle
Tauber (de)[1] a démontré en 1897[2] que sous l'hypothèse an = o(1/n), si la limite radiale existe, alors la série converge et lui est égale. Ce résultat a été amélioré par Littlewood : l'hypothèse an = O(1/n) suffit[3]. Le théorème taubérien de Hardy-Littlewood (en) en est une généralisation.
Notes et références
- (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Alfred Tauber », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne].
- (de) A. Tauber, « Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen », dans Monatshefte für Mathematik (de), vol. 8, 1897, p. 273–277
- Ceci fournit un autre argument pour traiter les deux exemples ci-dessus.
Articles connexes
- Série divergente
- Théorèmes abéliens et taubériens (en)
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