Sommation par parties

Sommation par parties

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Sommaire

Énoncé

Soient deux suites (a_n)_{n\in\N} et (b_n)_{n\in\N}. Si l'on pose

\forall N\in\N, S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n~\text{et}~\forall n\in\N, B_n = \sum_{k=0}^n b_k~,

alors

\forall N\in\N, S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)~.
Démonstration

On a b0 = B0 et pour tout n > 0, bn = Bn − Bn − 1, donc

\begin{align}S_N&=a_0 B_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})\\ &=\sum_{n=0}^Na_nB_n-\sum_{k=0}^{N-1}a_{k+1}B_k\\ &=a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)~.\end{align}

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de SN.

Similitude avec l'intégration par parties

La formule de l'intégration s'écrit : \int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (g' \, devient g \,) et à dériver l'autre (f \, devient f' \,).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée (b_n \, devient B_n \,) et l'autre est différenciée (a_n \, devient a_{n+1} - a_n \,).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications

Si la suite (an) tend vers 0 et la suite (Bn) est bornée, et si \sum_{n\ge0}(a_{n+1} - a_n) est une série absolument convergente, alors la série \sum a_nb_n est convergente. En effet,

S_N\to0+\sum_{n\ge0}B_n(a_{n+1}-a_n)~,

cette dernière série étant absolument convergente.

On en déduit de plus l'inégalité :

|S|=\left|\sum_{n=0}^\infty a_n b_n\right|\le M\sum_{n\ge 0}|a_{n+1}-a_n|,

où M désigne un majorant des |Bn|.

Exemples

  1. a_n = \frac{1}{n+1} et b_n = (-1)^n \,
    |B_n| \le 1 et |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \le \frac{1}{n^2}
    On sait que la série \sum_0^\infty \frac{1}{n^2} converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
    S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... converge.
    NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
  2. a_n = \frac{1}{n} et b_n = \sin(n) \,
    (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
    Comme précédemment \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}) converge absolument, et \sum_{k=1}^n \sin(k) est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
    Par conséquent \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n} converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.

Voir aussi

Lien externe

  • article d'Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur BibNum.

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