Theoreme de Girsanov

Théorème de Girsanov

Visualisation du théorème de Girsanov — Le coté gauche montre un processus de Wiener avec une tendance négative sous la mesure canonique P; sur le coté droit, chaque trajectoire du processus est colorée selon sa vraisemblance sous la mesure martingale Q. La densité de Q par rapport à P est donnée par le théorème de Girsanov.

Dans la théorie des probabilités, le théorème de Girsanov indique comment un processus stochastique change si l'on change de mesure. Ce théorème est particulièrement important dans la théorie des mathématiques financières dans le sens où il donne la manière de passer de la probabilité historique qui décrit la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée à la probabilité risque neutre qui est un outil très utile pour évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.

Sommaire

1 Historique
2 Énoncé du théorème
3 Corollaire
- 3.1 Commentaires
4 Application à la finance
5 Autre énoncé du théorème
6 Condition de Novikov
7 Références
8 Voir aussi
- 8.1 Liens internes
- 8.2 Lien externe

Historique

Des résultats de ce type ont été prouvés pour la première fois dans les années 1940 par Cameron-Martin puis en 1960 par Girsanov. Par la suite ils ont été étendus à des classes plus vastes de processus allant en 1977 jusqu'à la forme générale de Lenglart.

Énoncé du théorème

Dans un premier temps, nous énoncerons le théorème dans le cas où le processus sous-jacent est un processus de Wiener. Ce cas particulier est suffisant pour le pricing sous probabilité risque neutre du modèle de Black-Scholes.

Soit ${W t}$ un processus de Wiener dans l'espace de probabilité $\{\Omega,\mathcal{F},P\}$ .

Soit $X t$ un processus mesurable adapté à la filtration naturelle de ${W t}$ , $\{\mathcal{F}^W_t\}$ ; nous faisons l'hypothèse que les conditions usuelles sont satisfaites.

Étant donné un processus $X t$ , on définit

$Z_t=\mathcal{E} (X)_t,\,$

où $\mathcal{E}(X)$ est l'exponentielle stochastique de X par rapport à W, i.e.

$\mathcal{E}(X)_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} [X]_t \right ).$

Si $Z t$ est une martingale alors une mesure Q peut être définie sur ${σ, F}$ avec la densité de Radon-Nikodym.

$\left .\frac{d Q}{d P} \right|_{\mathcal{F}_t} = Z_t = \mathcal{E} (X )_t$

Alors, pour tout t la mesure Q restreinte aux ensembles $\mathcal{F}^o_t$ -mesurables est équivalente à P restreinte aux ensembles $\mathcal{F}^o_t$ -mesurables.

De plus, si Y est une martingale locale sous P alors le processus

$\tilde Y_t = Y_t - \left[ W,X \right]_s$

est une Q-martingale locale par rapport à la filtration $F^W_t$ .

Corollaire

Si X est un processus continu et W est un mouvement brownien sous P alors

$\tilde W_t =W_t - \left [ W, X \right]_t$ est brownien sous Q.

La continuité de $\tilde W_t$ est triviale; selon le théorème de Girsanov, c'est une martingale locale sous Q, or :

$\left[\tilde W \right]_t= \left [ W \right]_t = t$

Ce qui correspond à la caractérisation de Lévy du mouvement brownien sous Q.

Commentaires

Dans de nombreuses applications usuelles, le processus X est défini par

$X_t = \int_0^t Y_s\, d W_s.$

Pour un processus X de cette forme, une condition suffisante pour que X soit une martingale est la condition de Novikov :

$E_P\left [\exp\left (\int_0^T Y_s^2\, ds\right )\right ] < \infty.$

L'exponentiel stochastique $\mathcal{E}(X)$ est le processus Z qui satisfait l'équation différentielle stochastique

$Z_t = 1 + \int_0^t Z_s\, d Y_s.\,$

Application à la finance

Ce théorème peut être utilisé pour trouver l'unique probabilité risque neutre dans le modèle de Black-Scholes.

Ainsi, si un actif suit le processus de diffusion vérifiant :

$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW_t$ où

W t

est un P-mouvement brownien.

En effectuant le changement de probabilité suivant :

$\frac{d Q}{d P} = \mathcal{E}\left ( \int_0^\cdot \frac{r - \mu }{\sigma}\,d W \right ).$

On obtient une diffusion vérifiant :

$\frac{dS}{S} = r dt + \sigma d\tilde{W_t}$

Où $\tilde{W_t}$ est un Q-mouvement brownien.

Si on note $\tilde{S}$ la valeur actualisée de $S$ , on a :

$\frac{d\tilde{S}}{\tilde{S}} = \sigma d\tilde{W}_t$

Sous la probabilité Q la valeur de notre actif réactualisée est martingale.

Autre énoncé du théorème

Soit $\{\Omega,\mathcal{F},P,\{\mathcal{F}_t\}_{0 \leq t \leq T}\}$ un espace probabilisé, muni de la filtration naturelle par rapport au processus de Wiener standard $({B}_t),t \in T$ . Soit $(\theta_t)_{0 \leq t \leq T}$ un processus adapté tel que : $\int_0^T \theta_s^2\,\mathrm ds< \infty$ P-f.s. et tel que le processus $(L_t)_{0 \leq t \leq T}$ défini par:

$L_t= \exp \left( - \int_0^t \theta_s \mathrm dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 \mathrm ds \right)$

soit une martingale.

Alors sous la probabilité $P (L)$ de densité $L T$ par rapport à P, le processus $(W_t)_{0 \leq t \leq T}$ défini par $W_t = B_t + \int_0^t \theta_s \mathrm ds$ est un Wiener standard.

Condition de Novikov

Der schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist es wohl zu zeigen, dass $L t$ Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung so dass $(L_t)_{0 \leq t \leq T}$ ein Martingal ist, lautet:

$\operatorname{E} \left(\exp \left (\frac{1}{2} \int_0^T \theta_t^2 \mathrm dt \right) \right) < \infty$

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Références

C. Dellacherie and P.-A. Meyer, "Probabilités et potentiel -- Théorie de Martingales" Chapitre VII, Hermann 1980.
E. Lenglart "Transformation de martingales locales par changement absolue continu de probabilités", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit 39 (1977) pp 65-70.

Voir aussi

Liens internes

Lien externe

Notes on Stochastic Calculus qui contient une preuve du théorème de Girsanov.

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