Théorème de Girsanov

Visualisation du théorème de Girsanov — Le côté gauche montre un processus de Wiener avec une tendance négative sous la mesure canonique P; sur le côté droit, chaque trajectoire du processus est colorée selon sa vraisemblance sous la mesure martingale Q. La densité de Q par rapport à P est donnée par le théorème de Girsanov.

Dans la théorie des probabilités, le théorème de Girsanov indique comment un processus stochastique change si l'on change de mesure. Ce théorème est particulièrement important dans la théorie des mathématiques financières dans le sens où il donne la manière de passer de la probabilité historique qui décrit la probabilité qu'un actif sous-jacent (comme le prix d'une action ou un taux d'intérêt) prenne dans le futur une valeur donnée à la probabilité risque neutre qui est un outil très utile pour évaluer la valeur d'un dérivé du sous-jacent.

Sommaire

1 Historique
2 Énoncé du théorème
3 Corollaire
- 3.1 Commentaires
4 Application à la finance
5 Autre énoncé du théorème
6 Références
7 Voir aussi
- 7.1 Aticles connexes
- 7.2 Liens externes

Historique

Des résultats de ce type ont été prouvés pour la première fois dans les années 1940 par Cameron-Martin puis en 1960 par Girsanov. Par la suite ils ont été étendus à des classes plus vastes de processus allant en 1977 jusqu'à la forme générale de Lenglart.

Énoncé du théorème

Soit $X t$ une martingale locale (en) continue par rapport à une filtration $(\mathcal F_t)_{t\geq0}$ satisfaisant les conditions usuelles. On définit l'exponentielle stochastique $Z$ de $X$ par la formule

$Z_t=\exp \left ( X_t - \frac{1}{2} <X>_t \right ).$

Notamment, on a l'équation différentielle stochastique : $d Z t = Z t d X t$ .

Le processus $Z$ est alors une martingale locale strictement positive, et on peut définir une mesure $Q t$ équivalente à la restriction de la mesure P à $\mathcal F_t$ à partir de sa densité de Radon-Nikodym.

$\frac{d Q_t}{d P_{|_{\mathcal{F}_t}}}=Z_t.$

Si $Z$ est en fait une vraie martingale, la famille $Q t$ est induite par une mesure Q définie sur toute la tribu $\mathcal F$ :

$Q_t=Q_{|_{\mathcal F_t}}.$

De plus, si Y est une martingale locale sous P alors le processus

$\tilde Y_t = Y_t - \left[ Y,X \right]_t$

est une martingale locale sous Q.

Corollaire

Si X est un processus continu et W est un mouvement brownien sous P alors

$\tilde W_t =W_t - \left [ W, X \right]_t$ est brownien sous Q.

La continuité de $\tilde W_t$ est triviale; selon le théorème de Girsanov, c'est une martingale locale sous Q, or :

$\left[\tilde W \right]_t= \left [ W \right]_t = t$

Ce qui correspond à la caractérisation de Lévy du mouvement brownien sous Q.

Commentaires

Dans de nombreuses applications usuelles, le processus X est défini par

$X_t = \int_0^t Y_s\, d W_s.$

Pour un processus X de cette forme, une condition suffisante pour que l'exponentielle stochastique Z soit une martingale est la condition de Novikov :

$E_P\left [\exp\left (1/2\int_0^T Y_s^2\, ds\right )\right ] < \infty.$

Application à la finance

Ce théorème peut être utilisé pour trouver l'unique probabilité risque neutre dans le modèle de Black-Scholes.

Ainsi, si un actif suit le processus de diffusion vérifiant :

$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW_t$ où

W t

est un P-mouvement brownien.

En effectuant le changement de probabilité suivant :

$\frac{d Q}{d P} = \mathcal{E}\left ( \int_0^\cdot \frac{r - \mu }{\sigma}\,d W \right ).$

On obtient une diffusion vérifiant :

$\frac{dS}{S} = r dt + \sigma d\tilde{W_t}$

Où $\tilde{W_t}$ est un Q-mouvement brownien.

Si on note $\tilde{S}$ la valeur actualisée de $S$ , on a :

$\frac{d\tilde{S}}{\tilde{S}} = \sigma d\tilde{W}_t$

Sous la probabilité Q la valeur de notre actif réactualisée est martingale.

Autre énoncé du théorème

On donne ici un énoncé plus simple du théorème, Soit $\{\Omega,\mathcal{F},P,\{\mathcal{F}_t\}_{0 \leq t \leq T}\}$ un espace probabilisé, muni de la filtration naturelle par rapport au processus de Wiener standard $(W_t),t \in T$ . Soit $(Y_t)_{0 \leq t \leq T}$ un processus adapté tel que : $\int_0^T Y_s^2\,\mathrm ds< \infty$ P-f.s. et tel que le processus $(Z_t)_{0 \leq t \leq T}$ défini par:

$Z_t= \exp \left( - \int_0^t Y_s \mathrm dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t Y_s^2 \mathrm ds \right)$

soit une martingale.

Alors sous la probabilité $P (Z)$ de densité $Z T$ par rapport à P, le processus $(\tilde W_t)_{0 \leq t \leq T}$ défini par $\tilde W_t = W_t + \int_0^t Y_s \mathrm ds$ est un processus de Wiener standard.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Girsanov theorem » (voir la liste des auteurs)
C. Dellacherie et P.-A. Meyer, Probabilités et potentiel – Théorie des martingales, Hermann, 1980, chap. VII
E. Lenglart, « Transformation des Martingales locales par changement absolument continu de probabilities », dans Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit, vol. 39, 1977, p. 65-70

Voir aussi

Aticles connexes

Théorème de Cameron-Martin (en)
Igor Vladimirovich Girsanov (en)
Norbert Wiener
Johann Radon

Liens externes

(en) Alan Bain, Stochastic Calculus (contient une preuve du théorème de Girsanov)
(en) Denis Papaioannou, Applied Multidimensional Girsanov Theorem (contient des applications du théorème de Girsanov en finance)

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Processus stochastique
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