Tempéraments égaux

Cet article expose la théorie de la gamme tempérée en détail. Pour une présentation simplifiée et de synthèse, voir l'article Gammes et tempéraments qui donne aussi une vue d'ensemble des gammes de la musique occidentale classique.

La gamme au tempérament égal, ou simplement le « tempérament égal », ou encore la « gamme tempérée^{[note 1]} » est le système de division de l'octave le plus communément utilisé au XXI^e siècle dans la musique occidentale et les musiques qui en sont issues. Le principe est de découper l'octave en douze intervalles chromatiques égaux sans se préoccuper de la consonance entre eux des sons ainsi déterminés.

Il est également possible de parler de « tempérament égal » lorsque l'octave est divisée en plus de douze intervalles égaux (31, 53, etc.) Ces tempéraments sont abordés dans Tempérament par division multiple. Ce qui suit ne concerne que le tempérament égal à douze intervalles par octave.

Genèse

Le nombre de douze intervalles par octave, base de la musique occidentale, n'a rien de fortuit. Dans la multiplicité des intervalles que peut apprécier l'ouïe humaine, la théorie de la gamme pythagoricienne a permis de distinguer une « palette » de sept sons principaux et de cinq sons altérés qui constituent le cycle des quintes justes, toutefois sans le refermer absolument — subsiste un écart résiduel équivalent à la différence entre sept octaves et douze quintes : le comma pythagoricien. La gamme de Pythagore fut le support de la musique du Moyen Âge.

Cette valeur douze se retrouve mathématiquement de la façon suivante et en absence d'inharmonicité :

• par définition, une octave correspond au facteur 2 ;
• par définition, une quinte correspond au facteur 3/2 ;
• sept octaves successives correspondent à 2⁷ = 128
• douze quintes successives correspondent à (3/2)¹² = 129,746337890625.

Ainsi, douze quintes valent presque sept octaves (à un comma pythagoricien près) ; et aucune des onze notes du cycle des quintes ne correspond (à n octaves près) à la première note du cycle : ainsi, douze degrés sont (presque) définis qui s'échelonnent (à n octaves près) dans l'intervalle d'un octave.

Jusqu'à la fin du Moyen Âge, la théorie musicale ne reconnaissait comme consonants que les intervalles d’unisson, d’octave, de quinte et de quarte. La tierce majeure en était exclue, car la tierce pythagoricienne est relativement fausse, étant supérieure à la tierce pure d’un comma syntonique, ce qui fait une différence rédhibitoire. À cette époque, les musiciens commencèrent à admettre la consonance de la tierce, ce qui conduisit à abandonner le tempérament pythagoricien au profit des tempéraments mésotoniques, puis des tempéraments inégaux. Le nombre de sept notes diatoniques par octave fermement établi, les théoriciens ont pu formaliser des gammes « naturelles » — dont celle de Zarlino — assez proches de la gamme pythagoricienne mais attribuant un rôle important à la tierce et à d’autres rapports harmoniques simples. Les intervalles divisant l’octave restaient inégaux et un autre inconvénient surgissait : la division de la tierce majeure en un ton majeur et un ton mineur différents. La modulation était pratiquée, mais pas dans tous les tons – et ne pouvait guère l’être.

Les tempéraments mésotoniques ont été imaginés, probablement, au XVI^e siècle pour utiliser des tierces pures, ce qui est possible dans huit tonalités majeures et dans leurs tonalités relatives mineures. Ces tierces majeures, divisées en deux tons égaux, laissent subsister une quinte du loup plus ou moins prononcée ainsi que quatre tierces trop grandes, appartenant à des tonalités interdites.

Les tempéraments inégaux, dérivés du mésotonique, ont permis d’étendre les possibilités de modulation jusque dans des tonalités éloignées, mais avec des différences marquées de couleurs sonores entre les tonalités, dont tous les compositeurs de l'époque baroque ont su user (voir Inégalités dans la musique baroque).

Si l'on parcourt le cycle des quintes dans le sens descendant — et non montant — on rencontre d'autres sons altérés (les bémols) qui ne coïncident pas exactement avec les sons diésés, car les demi-tons de la gamme de Pythagore qui sont l'apotome (de valeur 2187/2048) et le limma (256/243) ne sont pas égaux et diffèrent d'ailleurs d'un comma. Ils sont suffisamment proches pour que les différents tempéraments imaginés au cours des XVI^e, XVII^e et XVIII^e siècle visent à simplifier la gamme en les assimilant. C'est ainsi que, depuis la fin de la Renaissance, les instruments à clavier disposent en général de claviers avec sept touches naturelles (les marches) et cinq touches altérées (les feintes) par octave.

L'assimilation des notes diésées et bémolisées — qui consistait à privilégier les unes par rapport aux autres — n'impliquait en aucune façon l'égalité de tous les intervalles chromatiques. C'était même devenu la marotte des théoriciens du XVIII^e siècle de découvrir le tempérament inégal qui présenterait le meilleur compromis possible entre la justesse des octaves, des quintes et des tierces, la non-limitation de l'emploi des différentes tonalités et des possibilités infinies de transposition et de modulation. La réalité concrète de la musique s'est faite en utilisant ces tempéraments inégaux.

Un clavier bien tempéré ?

À propos du clavecin et du clavicorde, C.P.E. Bach (Essai sur la vraie manière de jouer des instruments à clavier, éditions Jean-Claude Lattès en français, 1979, p. 36.) écrit :

« Les deux sortes d'instruments doivent être bien tempérés : en accordant les quartes et les quintes, avec les tierces majeures et mineures et les accords complets pour preuves, il faut affaiblir un tant soit peu la justesse des quintes, en sorte que l'oreille la perçoive à peine et que les vingt quatre tons soient tous utilisables. »

Il est très explicitement écrit que les vingt quatre tons soient tous utilisables et non pas que les vingt quatre tons aient une couleur égale. Un clavier bien tempéré, tel que le demande C.P.E. Bach, n'est pas un clavier au tempérament égal.

Avec les tempéraments du XVIII^e siècle, chaque tonalité avait un « coloris sonore » différencié - dont Johann Mattheson a fait un inventaire - auquel les grands compositeurs — parmi lesquels Bach et Couperin — portaient la plus grande attention. Ces tempéraments inégaux ont mobilisé une imagination et une inventivité considérable et certains d’entre eux sont d’une ingéniosité remarquable. Le « Clavier bien tempéré » (« Das wohltemperierte Klavier ») de J. S. Bach fait la preuve de la praticabilité de ces tempéraments inégaux, par opposition aux tempéraments mésotoniques, pour jouer dans les vingt-quatre tons majeurs et mineurs.

Bradley Lehman, un musicologue américain, pense que Bach a laissé dans les dessins de son manuscrit la structure précise du tempérament qu'il préconise : à base de quintes tempérées au 6^e de comma pythagoricien, et quelques autres au 12^e. (article en anglais uniquement)

Développement historique

Depuis le début du XVI^e siècle, pour l’accord des instruments à cordes et à frettes tels que luth, guitare, viole, etc, les frettes disposées au travers du manche sont constituées de cordes nouées autour du manche, de façon à pouvoir glisser facilement et régler le tempérament au moment de jouer. Lorsque les musiciens jouent avec un clavecin, ils règlent les frettes mobiles en se calant sur l'accord qui a été effectivement réalisé au clavecin. Le tempérament égal est déjà mentionné, par Mersenne et par Praetorius, à propos des violes, mais il est peu utilisé alors.

La généralisation progressive du tempérament égal est relativement récente (deux siècles tout au plus) et accompagne la disparition des notes inégales dans la musique à l'époque de la Révolution française (voir Inégalités dans la musique baroque).

Le tempérament égal a vu son avènement lors du développement extraordinaire de la musique européenne du milieu du XVIIIe siècle au début du XXe, dans des esthétiques aussi différentes que celles de Haydn, de Chopin ou de Stravinsky. Le choix des tonalités, cependant, conserve, dans l'œuvre d'un Mozart par exemple, une grande importance, y compris dans toute l'œuvre écrite pour piano seul, et constitue un fil conducteur pour saisir la signification de telle ou telle composition. Ceci va à l'encontre du principe de base du tempérament égal, pour lequel les tonalité majeures ou mineures sont toutes de couleur égale.

C'est en fait que la notion de consonance, et de jeux de consonances a perdu à cette époque son importance, au profit d'un langage musical alors en plein développement, et qui recherchait le maximum d'ouvertures, en se basant sur des briques que l'on voulait maintenant universelles: des intervalles interchangeables et renversables à volonté, dans un univers entièrement domestiqué par l'homme. Fini les intervalles naturels dont nous pouvions maintenant nous affranchir, puisque l'industrie humaine et l'éducation nous permettait de reconnaitre comme nouvelles valeurs absolues les intervalles tempérés toujours similaires, et donc facilement mémorisables et répétitibles du tempérament égal.

Il reste encore à souligner que la nécessité absolue d'un tempérament égal véritablement strict n'a de raison d'être qu'avec l'arrivée de la musique sérielle (initiée par Arnold Schoenberg et l'école de Vienne), qui finalement est la première à tirer pleinement partie de ses caractéristiques complètement homogènes, en se l'assimilant. La gamme tempérée est en effet purement une série (une série de notes homogénément réparties, mais dépourvues de consonances communes autres qu'approximatives), et non le résultat d'une construction harmonique telle que sont les autres systèmes.

La théorie

Elle est des plus simples : diviser l’octave en douze intervalles – demi-tons - égaux. Elle n'est légitime que tant qu’elle produit des sons assez proches de ceux de la « juste intonation » ; l’habitude du musicien et de son auditoire fait le reste.

Puisque additionner des intervalles revient à effectuer des multiplications de rapports de fréquences, l'octave égale le demi-ton élevé à la puissance douze. Ainsi, le demi-ton vaut (environ 1,05946). La quinte tempérée égale 7 demi-tons, soit 2^7/12.

On peut aussi considérer que le comma pythagoricien est réparti selon douze parts égales entre les douze quintes du cycle. Le comma pythagoricien vaut 3¹²/2¹⁹ : le douzième de comma vaut donc (3¹²/2¹⁹)^1/12 ou 3/2^19/12. La quinte tempérée (quinte pure diminuée d'un douzième de comma) vaut donc (3/2)/(3/2^19/12) soit 2^19/12-1 ou encore 2^7/12 : nous retrouvons le même résultat.

Vincenzo Galilei a proposé, pour le demi-ton qui est à la fois diatonique et chromatique, la valeur approchée : 18/17 (ce nombre élevé à la puissance 12 vaut 1,98555995… très proche de 2.

Marin Mersenne a déterminé la proportion qui l'approche encore plus précisément et qui peut être construite avec la règle et le compas.

Voir aussi Son (physique) > Fréquence et hauteur.

Qualités musicales de la gamme tempérée

La gamme tempérée permet les modulations à l'infini - c'est d'ailleurs la raison de son adoption générale. Elle uniformise les demi-tons, diatoniques ou chromatiques (cette propriété ne transparaît pas dans la notation musicale - voir les articles relatifs au solfège). La quinte du loup disparaît ainsi que toutes les colorations des tonalités qui deviennent équivalentes dans un même mode.

A part les octaves, tous les intervalles sont, acoustiquement parlant, légèrement faux.

• les quintes sont relativement justes, issues de la quinte pure diminuée d'un douzième de comma pythagoricien, valeur faible ;
• les quartes sont légèrement trop grandes (même raison) ;
• les tierces sont meilleures que les tierces pythagoriciennes, beaucoup trop grandes, qui sont réduites d'un tiers de comma pythagoricien, donc d'une fraction un peu supérieure du comma syntonique. Elles sont néanmoins encore éloignées de la pureté.
• la même remarque vaut pour les sixtes, trop petites ;
• les secondes (ou tons) s'éloignent d'un sixième de comma de la valeur juste) : elles perdent également en pureté trop petites).
• les septièmes sont trop grandes d'un sixième de comma, en conséquence.

Voir le tableau ci-dessous

Ces particularismes bien réels, n'ont pu empêcher les musiciens de s'y rallier, car les avantages en termes de composition et d'expressivité l'ont emporté.

L'adoption générale du tempérament égal aux récents siècles passés s'explique également par une évolution esthétique de l'art en général. À la brillance des couleurs baroques correspond le clavecin, au son cristallin, accordé en tempérament inégal, avec des intervalles assez purs. À la douceur mélancolique de la période romantique correspond le piano, à la sonorité moins définie, plus douce et enveloppée, qui ouvre la porte aux intervalles plus approximatifs mais réguliers du tempérament égal.

La gamme tempérée est difficile à accorder (ce qui explique en partie son application tardive) : pour réaliser le tempérament égal, il faut établir des dissonances toutes égales à l'intérieur d'une octave, ce qui s'obtient par la faculté d'apprécier les rapidités des battements . L'amateur possesseur d'un clavecin est rompu, par la force des choses, à l'art d'accorder son instrument selon l'un ou l'autre des tempéraments légués par le XVIII^e siècle, ce qui nécessite le plus souvent, de la même façon, la faculté d'apprécier les battements par seconde. Avec un peu de pratique, il peut assez facilement accorder son clavecin au tempérament égal s'il le veut vraiment. Il en est de même au piano-forte. Au piano moderne, cependant, la technique nécessite un geste particulier pour obtenir d'emblée le blocage parfait de la cheville exactement dans la bonne position, ce qui est hors de portée pratique de l'amateur : le piano moderne et ses caractéristiques acoustiques inharmoniques est à l'origine du métier d'accordeur de pianos.

Comparaison de 3 systèmes de division de l'octave

NB Dans ce tableau :

1. La note do commune à 264 Hz donne le la à 440 Hz (diapason actuel) dans la juste intonation.
2. Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de do.
3. La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre sol # et mi ♭.

NB Dans ce tableau :

1. La note LA est commune à 440 Hz (diapason actuel)
2. Les gammes naturelles sont représentées par la « juste intonation » à partir de DO
3. La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la quinte du loup soit entre SOL♯ et MI♭.

Notes

Bibliographie

• Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
• Heiner Ruland: Évolution de la musique et de la conscience, ÉAR, Genève 2005, ISBN-2-88189-173-X

Articles connexes

• Gammes et tempéraments
  • Comma
  • Gamme pythagoricienne
  • Gamme naturelle
  • Tempérament mésotonique
  • Tempérament inégal
  • Justesse des tierces
  • Inégalités dans la musique baroque
  • Inharmonicité du piano
  • Tempérament par division multiple
  • Tempérament égal à quintes justes

• Racine carrée de deux

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