Tempérament par division multiple

Dans la théorie de la musique occidentale, un tempérament par division multiple consiste en une division de l’octave en plus de douze intervalles élémentaires.

Les tempéraments par division multiple

Plusieurs théoriciens ont conçu des tempéraments basés sur une division de l'octave en plus de douze intervalles élémentaires. Constatant que la division en douze intervalles égaux n' aboutit pas à la pureté des intervalles de quinte et de tierce, ils ont recherché si une division de l'octave en un nombre différent d'intervalles ne permettait pas de se rapprocher de cette pureté idéale. De fait, plusieurs schémas de division ont ainsi été déterminés, qui permettent parfois d'améliorer aussi la qualité des autres notes. C'est d'ailleurs une évidence que plus l'intervalle élémentaire est petit, meilleure est l'approche de la pureté : de même qu'une règle graduée en mm donne une meilleure mesure qu'une règle graduée en cm.

Les méthodes sont diverses mais plusieurs d'entre elles mettent en œuvre la technique suivante :

1. déterminer deux intervalles « classiques » I₁ et I₂ reliés à l'octave (notée O) par une relation du type : ,
   n₁ et n₂ étant des nombres entiers ;
2. déterminer deux nombres entiers N₁ et N₂ tels que soit le plus proche possible de ;
3. si les deux rapports ci-dessus étaient rigoureusement égaux, il existerait un intervalle i tel que et . On aurait donc ou encore ou enfin
4. on définit alors i, calculé comme ci-dessus, comme base du tempérament.

Cette méthode introduit, entre autres, les tempéraments à 19, 31 et 53 intervalles élémentaires par octave, mais beaucoup d'autres idées ont été développées pour aboutir au tempérament idéal - qui n'existe pas.

Les tempéraments par division multiple n'ont de légitimité que s'ils apportent un véritable avantage en termes de musicalité. Ce sont en général plus des curiosités théoriques que des systèmes réellement mis en œuvre et ayant servi de support à de grandes œuvres. Il ne peuvent être pratiqués simplement qu'avec la voix ou certains instruments à intonation variable (famille des violons, certains cuivres) ou par des instruments à sons fixes conçus pour eux et comportant des dispositifs « exotiques » tels que claviers glissants, doubles claviers, touches divisées etc. Leur peu de succès pratique tient aussi à la difficulté du jeu qui nécessite une formation spécifique de l'artiste : le jeu n'en vaut guère la chandelle !

Tempéraments basés sur 5 tons et 2 demi-tons

Ces tempéraments considèrent que l’octave se divise en 5 tons et 2 demi-tons, ces derniers étant proches de la moitié d’un ton - disons qu’un ton sera compris entre 1,5 et 2,5 fois le demi-ton.

Si la proportion est de deux, on est ramené à l’octave divisée en 12 intervalles égaux, car 12 = 5 x 2 + 2 x 1 : c’est le tempérament égal habituel à douze intervalles égaux par octave.

En faisant varier cette proportion, on détermine, entre autres, les tempéraments à 19, 31, 43 et 53 intervalles par octave :

• 19 = 5 x 3 + 2 x 2 : la proportion est de 3/2 et le ton vaut 1,5 demi-tons ;
• 31 = 5 x 5 + 2 x 3 : la proportion est de 5/3 et le ton vaut 1,666... demi-tons ;
• 43 = 5 x 7 + 2 x 4 : la proportion est de 7/4 et le ton vaut 1,75 demi-tons ;
• 53 = 5 x 9 + 2 x 4 : la proportion est de 9/4 et le ton vaut 2,25 demi-tons.

Les nombres 19, 31 et 43 sont de la forme 12 x n + 7.

Bien évidemment, plus l’intervalle élémentaire divisant l’octave est petit, plus on a de chances d’obtenir un tempérament approchant au mieux la juste intonation. Cependant, on se heurte alors à la question, très concrète, de la « jouabilité » sur des instruments à commande manuelle (clavier, instruments à vent à clef). C’est cet aspect essentiel qui a empêché l’utilisation réelle de ces tempéraments, restés pour la plupart à l’état de construction théorique - une instrumentation électronique et/ou informatique peut au contraire les réaliser.

Tempérament à 19 intervalles égaux

Un clavier réalisant le tempérament à 19 intervalles égaux

L’équipartition de l’octave en 19 intervalles présente la particularité d’approcher les intervalles diatoniques de la juste intonation - qui sont la référence sur le plan de l’audition et de la musique - généralement de plus près que le tempérament égal à 12 demi-tons (la gamme tempérée usuelle).

L’approximation est même presque parfaite en ce qui concerne la tierce mineure et la sixte majeure. Mais les autres intervalles chromatiques sont plutôt moins bons.

Dans le tableau ci-dessous, on n’a reporté que les degrés qui offrent une comparaison favorable.

Tempérament à 31 intervalles égaux (ou de Huyghens)

Recommandé - mais non inventé^[1] - par Huyghens, ce tempérament peut être introduit simplement en considérant la proportion de 5/3 entre le ton et le demi-ton.

Il se trouve que cette proportion est pratiquement celle qui existe entre le ton et le demi-ton diatonique du tempérament mésotonique à ¼ de comma syntonique.

Dans ce dernier tempérament, en effet :

• la quinte tempérée vaut 5^1/4...
• le ton T, soit 2 quintes tempérées diminuées d’une octave vaut 5^1/2/2, environ 1,118034
• le demi-ton diatonique D, soit 3 octaves diminuées de 5 quintes tempérées vaut 2³/5^5/4, environ 1,069984
• on peut vérifier que T³ et D⁵ ont une valeur très proche, environ 1,4.

Si maintenant on considère le tempérament à 31 intervalles égaux, avec un ton qui en vaut 5 et un demi-ton diatonique qui en vaut 3, sa quinte en vaut 18 et elle égale donc 2^18/31.

On peut alors calculer l’intervalle enharmonique si-do.

• dans la gamme pythagoricienne, il s’agit du comma ditonique.
• dans le tempérament de Huyghens, il vaut 7 octaves moins douze quintes :

2⁷ / (2^18/31)¹², ou encore, après les simplifications

2^1/31 c’est-à-dire l'intervalle élémentaire de Huyghens, qui joue donc à la fois le rôle d’intervalle élémentaire et de comma !

En complément de ce tempérament, le savant néerlandais préconisa un système de clavier glissant permettant de le concrétiser mais qui resta à l’état de curiosité théorique et mécanique.

Tempérament à 43 intervalles égaux

Ce tempérament présente d’intéressantes caractéristiques et la particularité de pouvoir être introduit par un raisonnement très différent : voir ci-dessous Tempérament de Sauveur

Tempérament à 53 intervalles égaux (ou de Holder)

Ce tempérament est directement issu de la gamme pythagoricienne.

Les calculs - détaillés dans cette dernière page - montrent qu’une octave s’y divise en une somme de 5 apotomes et 7 limmas. Si l’on tient compte de ce que, approximativement, l’apotome vaut 5 commas pythagoriciens et le limma en vaut 4, l’octave vaut environ 53 commas, soit 5 x 5 + 7 x 4.

Ceci amène naturellement à introduire l’intervalle élémentaire i, très proche du comma pythagoricien, tel que i⁵³ = 2 : le tempérament obtenu est régulier et approche au mieux les intervalles principaux de la gamme pythagoricienne, avec un ajustement possible au niveau des tierces, qui peuvent être rendues presque pures - car le comma syntonique est lui-même proche du pythagoricien.

L'intérêt théorique de cette division de l'octave a été mise en évidence dès l'Antiquité. Le théoricien chinois Ching Fang (78-37 avant JC) a en effet découvert que 53 quintes pures sont très proches de 31 octaves (N.B. Le nombre 31 donne aussi une possibilité de division de l'octave - voir ci-dessus). Il a calculé l'écart entre ces intervalles qui peut être approché, avec 6 décimales, par la fraction 177147/176776. Bien plus tard, cette observation fut à nouveau faite par le mathématicien et théoricien de la musique Nicolaus Mercator (vers 1620-1687) qui en a donné la formule 3⁵³/2⁸⁴ : c'est le comma de Mercator. Le comma de Mercator est une valeur faible (environ 3,615 cents) qui, réparti sur les 53 quintes, devient négligeable dans la pratique. William Holder a par ailleurs remarqué que ce tempérament permet d'approcher de très près la tierce pure (avec un écart de 1,4 cents) - toutes ces caractéristiques en font donc un excellent tempérament, du point de vue théorique.

Tempérament de Sauveur

Joseph Sauveur, savant mathématicien et fondateur de l’acoustique bien que sourd (!) a imaginé un tempérament particulier à partir d’une propriété de la gamme naturelle diatonique et en bénéficiant d’un heureux hasard algébrique.

Considérons les rapports de fréquences des huit notes « justes » d’une octave :

• DO 1
• RE 9/8
• MI 5/4
• FA 4/3
• SOL 3/2
• LA 5/3
• SI 15/8
• DO 2

il est facile de calculer les intervalles diatoniques correspondants :

• DO-RE 9/8
• RE-MI 10/9
• MI-FA 16/15
• FA-SOL 9/8
• SOL-LA 10/9
• LA-SI 9/8
• SI-DO 16/15

Donc une octave (O) égale 3 tons majeurs (T = 9/8) + 2 tons mineurs (t = 10/9) + 2 demi-tons diatoniques (D = 16/15).

Sauveur définit le « ton moyen » T_m tel que O = 5 x T_m + 2 x D
puis à partir de là, le demi-ton mineur d = T_m - D
et enfin le comma de Sauveur c = D - d.

Les valeurs numériques (éventuellement approchées) sont les suivantes :

• ton majeur 1,125
• ton mineur 1,1111...
• ton moyen 1,1194...
• 1/2 ton majeur 1,0667...
• 1/2 ton mineur 1,0495...
• comma 1,0164...

On peut ensuite calculer combien il y a de commas de Sauveur dans une octave, et le calcul se fait à l’aide des logarithmes et montre qu’une octave vaut 42,6211... commas de Sauveur, valeur très proche de 43. On retrouve, mais par un autre procédé, le tempérament à 43 intervalles égaux par octaves évoqué plus haut.

Il y a une autre particularité mathématique : le logarithme à base 10 de 2 vaut 0,30103 or 301 (soit 1000 fois ce logarithme) égale 43 x 7. Ainsi, Sauveur peut introduire une unité d’intervalle musical, l’heptaméride tel que :

• le comma de Sauveur vaut 7 heptamérides,
• une octave vaut 301 heptamérides,

et, par approximation,

• un ton moyen = 7 commas = 49 heptamérides
• un 1/2 ton majeur = 4 commas = 28 heptamérides
• un 1/2 ton mineur = 3 commas = 21 heptamérides

(on peut vérifier, en traduisant en heptamérides, que l’octave vaut 5 tons moyens + 2 demi-tons majeurs).

Notes

Voir aussi

Articles connexes

• Comma
• Gammes et tempéraments
• Gamme pythagoricienne
• Gamme naturelle
• Gamme tempérée
• Micro-intervalle
• Tempérament
• Tempérament égal
• Tempérament égal à quintes justes
• Tempérament mésotonique
• Tempérament inégal

Bibliographie

Devie Dominique, Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique, Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).

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