Racines d'un polynôme

Racines d'un polynôme

Racine d'un polynôme

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En mathématiques, une racine α d'un polynôme à une indéterminée P(X) est une valeur α qui, si elle est substituée à l'indéterminée, donne une expression nulle. En ce sens, une racine du polynôme est une solution de l'équation polynomiale P(X) = 0. Par exemple, si P est le polynôme X2 - 2, alors √2 et -√2 sont les racines de P. Le théorème de d'Alembert-Gauss indique que tout polynôme P non constant à coefficients dans les nombres complexes admet au moins une racine. Cela signifie qu'il existe toujours un nombre complexe α, racine de P, ou encore que P(α) = 0.

Le polynôme P possède des coefficients dans un ensemble de nombres qui ne contient pas nécessairement de racine. Ainsi, le polynôme exemple est à coefficients dans l'ensemble des nombres rationnels. Cela ne signifie pas qu'une racine du polynôme soit nécessairement dans le même ensemble. Le polynôme exemple possède des racines dans l'ensemble des nombres réels mais pas dans l'ensemble des nombres rationnels.

Par extension, le terme racine est aussi utilisé pour décrire une solution d'une équation, en général polynomiale. Par abus, certains appellent racine d'une fonction f, un zéro de la fonction f. Cet usage du mot racine est traité dans l'article Inconnue (mathématiques).

Le terme de racine se généralise à un polynôme en plusieurs indéterminées.

Sommaire

Définitions

Définition

On considère un polynôme P(X) à une indéterminée notée ici X, à coefficients dans un corps commutatif noté K. Un corps est un ensemble munis d'une addition et d'une multiplication. Il existe un élément neutre pour la multiplication, en général noté 1 et tout élément non nul est inversible. Des exemples de corps fréquemment utilisés sont Q, l'ensemble des rationnels, R celui des réels ou C celui des nombres complexes. En informatique, on utilise fréquemment les polynômes sur un corps fini à deux éléments, noté F2. Dire que le corps est commutatif revient à dire que la multiplication l'est.

Une extension L d'un corps K est un corps contenant K, ainsi R et C sont des extensions de Q.

Définition de racine — Une racine α du polynôme P est un élément d'une extension L de K tel que, si l'on substitue à l'indéterminée X la valeur α, on obtient une expression nulle dans L.

Ainsi, le polynôme X2 - 2, à coefficients dans Q, possède deux racines √2 et -√2, même si ces racines ne sont pas des éléments de Q. En effet, si l'on substitue √2 ou -√2 à X dans le polynôme, on trouve bien 0. Ces racines peuvent être vues comme des éléments de R ou de C.

Une question naturelle se pose, si L1 et L2 sont deux extensions de K contenant toutes les racines de P(X). Les racines, vues comme éléments de L1 sont-elle équivalentes aux racines vues comme éléments de L2 ? Cette équivalence existe, il existe toujours une autre extension L de K, appelé corps de décomposition de P(X), contenant toutes les racines de P(X). Cette extension est une copie d'un corps inclus dans L1, de plus ce corps inclus dans L1 est unique. Ces propriétés sont aussi vrai pour L2. On peut ainsi identifier une partie de L1 à une partie de L2 à L. Dans l'exemple choisi, L est l'ensemble des nombres de la forme a + b.√2, où a et b sont des nombres rationnels. Cet ensemble L s'identifie à une partie de R et de C. Ainsi, les deux racines √2 et -√2, vues comme éléments de L de R ou de C peuvent être considérées comme identiques.

Étymologie : Le terme de racine provient des traductions en latin de Robert de Chester et de Gérard de Crémone du terme gizr. Le mot gizr signifie racine, il est traduit en latin par radix. Le terme gizr est utilisé par le mathématicien d'origine perse du VIIIe siècle Al-Khawarizmi, dans son traité Kitâb al-jabr wa al-muqâbala, qui traite pour la première fois de manière exhaustive, du calcul des racines réelles de l'équation du second degré.[1]

Définition alternative

On utilise aussi une autre manière de définir les racines d'un polynômes, strictement identique à la définition précédente :

Définition alternative — Une racine α du polynôme P est un élément d'une extension L de K tel que le polynôme P, considéré comme à coefficients dans L, soit un multiple du polynôme X - α.

Cette définition indique que α est une racine de P si, et seulement si, il existe un polynôme Q, à coefficients dans L tel que P = (X - α)Q. Dans l'exemple choisi, l'égalité :

X^2 - 2 = \left(X - \sqrt 2\right)\left(X - \left(- \sqrt 2 \right)\right)

est une autre manière de remarquer que √2 et -√2 sont bien les deux racines du polynôme. L'équivalence des deux définitions est donnée dans l'article Polynôme formel.

Définitions connexes

Une racine de P peut être multiple, ce qui correspond à la définition suivante :

Racine multiple — Une racine α du polynôme P est dite multiple, d'ordre de multiplicité m, où m est un entier strictement supérieur à 1, s'il existe un polynôme Q, tel que P soit égal à (X - α)mQ, et que Q ne s'annule pas en α.

Une définition caractérise une racine qui n'est pas multiple :

Racine simple — Une racine α du polynôme P est dite simple si elle n'est pas multiple. On dit que son ordre de multiplicité est égal à 1.

Dans le premier exemple cité, le polynôme X2 - 2 s'exprime, dans l'ensemble des polynômes à coefficients réels, comme un produit de polynôme du premier degré, ce qui donne lieu à une définition :

Polynôme scindé — Soient L une extension de K et P un polynôme à coefficients dans K. Si P s'exprime comme le produits de polynômes du premier degré à coefficients dans L, on dit que le polynôme P est scindé dans L.

En théorie de Galois, on parle de polynôme séparable pour désigner un polynôme n'ayant aucune racine multiple.

Existence des racines

Article détaillé : Corps de décomposition.

Soit P un polynôme à une indéterminée et à coefficients dans un corps commutatif K. Il existe toujours une extension L telle que le polynôme P soit scindé dans L, ce qui peut s'exprimer de la manière suivante :

Existence des racines — Il existe une unique plus petite extension L de K, à un isomorphisme près, telle que P se décompose de manière unique en un produit d'une constante de L et de n polynômes unitaires du premier degré, si n désigne le degré P. L'extension L est appelée corps de décomposition de P.

L'unicité de L signifie que si deux extensions L1 et L2 sont les plus petites au sens de l'inclusion, alors L2 est une copie de L1, c'est à dire qu'il existe un isomorphisme de corps entre L1 et L2. La démonstration est donnée dans l'article détaillé. Un polynôme unitaire est un polynôme dont le monôme de plus haut degré est de coefficient égal à 1. Chaque constante de ces polynômes unitaires du premier degré sont égales à l'opposé d'une racine du polynôme P. Si L est une extension telle que le polynôme P soit scindé, il est possible de factoriser tous les coefficients des monômes du premier degrés des différents facteurs de la décomposition et trouver ainsi la forme décrite dans la proposition précédente.

Cette proposition s'exprime aussi d'une manière équivalente, si les racines sont comptées avec leur ordre de multiplicité, c'est à dire si une racine d'ordre de multiplicité m est comptée m fois :

Existence des racines (bis) — Il existe une unique, à un isomorphisme près, plus petite extension L de K, telle que P contienne exactement autant de racines que le degré de P.

Le corps L est tel que le polynôme P est scindé, en revanche un autre polynôme à coefficients dans K n'est pas nécessairement scindé dans L. A fortiori, un polynôme à coefficients dans L n'est pas non plus nécessairement scindé dans L. On dit qu'un corps L est algébriquement clos si tout polynôme à coefficients dans L est scindé :

Existence d'une clôture algébrique — Soit K un corps commutatif, il existe un corps L algébriquement clos et contenant K.

Un exemple de corps algébriquement clos est C, résultat connu sous le nom de Théorème de d'Alembert-Gauss. Ainsi tout polynôme à coefficient dans Q, R ou C admet autant de racines que son degré dans C. Le corps C n'est pas le plus petit corps contenant Q et algébriquement clôt. Il en existe néanmoins un, appelé la clôture algébrique de Q, plus petit que tous les autres. La clôture algébrique de R est exactement égale à C.

Relations entre les coefficients et les racines

Article détaillé : Relations entre coefficients et racines.

Calcul des racines

On peut utiliser la méthode de Müller pour calculer les racines d'un polynôme. On interpôle le polynôme P par un polynôme de degré deux : a2x2 + b2x + c2 selon l'interpolation lagrangienne. On retrouve les coefficients en évaluant P en trois points (x0,x1,x2) :

  • a_2 = \frac{P[x_0, x_1] - P[x_1, x_2]}{x0 - x2} = P[x_0, x_1, x_2]
  • b_2 = P[x_1, x_2] - a_2\times (x1 + x2)
  • c_2 = P(x_2) - a_2\times x_2^2 - b_2\times x_2

Avec : f[u, v] = \frac{f(u) - f(v)}{u - v}.

Mais en utilisant ce polynôme d’approximation, le choix de la racine de ce polynôme est problématique. Müller eut alors l’idée d’utiliser le même polynôme, mais sous la forme : an(x − xn)2 + bn(x − xn) + cn avec xn qui va tendre vers la racine. Particularité de cet algorithme : xn peut-être un nombre complexe. Coefficients :

  • an = P[xn − 2,xn − 1,xn]
  • b_n = P[x_{n-1}, x_n] - a_n\times (x_{n-1} - x_n)
  • cn = P(xn)

Cette méthode est autoconvergeante : le calcul de la racine va s'affiner petit à petit. On peut donc commencer avec x0 = − 1, x1 = 0 et x2 = 1 et n = 2. Tant que le polynôme ne s'annule pas en xn, on passe à l'itération n + 1 suivante avec :

  • r = \sqrt{b_n^2 - 4 a_n c_n}, où b_n^2 - 4 a_n c_n peut être négatif ou complexe.
    • d = \frac{-2 c_n}{b_n - r} si | bn + r | < | bn − r |
    • d = \frac{-2 c_n}{b_n + r} sinon
  • xn + 1 = xn + d

Finalement, le zéro est xn.

Voir aussi

Notes

  1. ↑ La première inconnue par l'IREM de Poitier p 27

Articles connexes

Liens externes

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