Produit eulerien

Produit eulerien

Produit eulérien

Leonhard Euler

En mathématiques, et plus précisément en théorie analytique des nombres, un produit eulérien est un développement en produit infini, indexé par les nombres premiers.

Il permet de mesurer la répartition des nombres premiers et est intimement lié à la fonction zêta de Riemann.

Il est nommé en l'honneur du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783).

Sommaire

Histoire

Travaux d'Euler

Calcul d'Euler

Euler cherche à évaluer la répartition des nombres premiers dont l'ensemble est ici noté P. Pour cela, il établit la formule suivante :

\forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s} \ = \ \prod_{p\in\mathcal{P}} \ \frac{1}{1-p^{-s}}

Ici Re(s) désigne la partie réelle de s.

Euler donne au terme de gauche le nom de fonction zeta, elle est définie sur le demi-plan complexe par :

\forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \quad \zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s}

Cette fonction se prolonge analytiquement sur l'ensemble du plan complexe en une fonction méromorphe.

Calcul d'Euler

Soit k un entier strictement positif, Pk l'ensemble des k premiers nombres premiers et Nk l'ensemble des entiers strictement positifs dont la décomposition en facteurs premiers ne comporte que des nombres premiers de l'ensemble Pk. Les éléments de Pk sont notés p1, ..., p k. L'exposant maximal de la décomposition en facteurs premiers d'un entier n est noté E(n).

La notation α désigne ici un k-uplet (α1, α1, ..., αk) d'entiers positif et N(α) désigne la valeur maximale atteinte par le k-uplet.

Enfin, s désigne un nombre complexe dont la partie réelle est strictement supérieure à 1 et l un entier strictement positif. L'objectif est de calculer la somme S kl(s), définie par :

S_{kl}(s) \ = \ \sum_{n \in N_k \ E(n) \le l} \frac 1{n^s}

Un double passage à la limite, d'abord sur l puis sur k permet de conclure. On remarque en effet que la somme s'écrit aussi :

(1) \quad S_{kl}(s) \ = \ \sum_{N(\alpha) \le l} \frac 1{(p_1^s)^{\alpha_1}.(p_2^s)^{\alpha_2}. \cdots .(p_k^s)^{\alpha_k}} \ = \ \sum_{N(\alpha) \le l} \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{(p_i^s)^{\alpha_i}} = \prod_{i = 1}^k \ \sum_{j = 0}^l \frac 1{(p_i^s)^j}

Chacune des k sommes du produit obtenu est absolument convergente. On en déduit :

(2) \quad \sum_{n \in N_k \ E(k) \le l} \frac 1{|n^s|} \le \prod_{i = 1}^k \ \sum_{j = 0}^{\infty} \frac 1{|p_i^s|^j} \ = \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{1-|p_i^{-s}|}

La série en l de la majoration (2) est donc absolument convergente, on en déduit l'égalité :

(3) \quad \sum_{n \in N_k} \frac 1{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^k \frac 1{1-p_i^{-s}}

La série en k de l'égalité (3) est aussi absolument convergente, on en déduit :

\forall s \in \mathbb C \quad \mathfrak {Re} (s) > 1 \Rightarrow \zeta(s) \ = \ \sum_{n=1}^\infin \ \frac{1}{n^s} \ = \ \prod_{i = 1}^{\infty} \frac 1{1-p_i^{-s}}
 

Première distribution des nombres premiers

Article détaillé : série des inverses des nombres premiers.

L'objectif est de déterminer une première loi sur la fréquence des nombres premiers. Il devient ainsi possible, par exemple, de répondre à la question : sont-ils plus ou moins nombreux que les carrés parfaits. Cette proposition doit se lire au sens où, si N est un entier suffisamment grand, existe-t-il plus de carrés parfaits inférieurs à N ou moins ? Euler répond à cette question en démontrant la divergence de la suite suivante :

\sum_{p \in \mathcal P} \frac 1p\ = \ + \infty

Ainsi, si pour tout n, il existait un nombre N plus grand que n tel que le nombre de nombres premiers soit supérieur au nombre de carrés parfaits, alors la série de terme général 1/n2 divergerait, ce qui n'est pas le cas.

L'objectif est alors de trouver un équivalent à la suite des nombres premiers. Il est donné par le théorème des nombres premiers.

Démonstration

L'égalité suivante montre que, si s tend vers 1, la fonction ζ diverge :

\forall s > 1 \quad \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac 1{n^s}

Ici ln désigne le logarithme naturel. La concavité de la fonction logarithme montre que :

\forall x \in ]0,1-e^{-1}[ \quad x > -(1-e^{-1})\ln (1-x)

Si p est un nombre premier, il est supérieur à (1 - e-1)-1 et :

\forall s > 1,\; \forall p \in \mathcal P \quad p^{-s} > -(1-e^{-1})\ln (1-p^{-s})

Le produit Eulérien permet d'en déduire la majoration suivante :

(1)\quad \sum_{p \in \mathcal P} p^{-s} > (1-e^{-1})^{-1} \ln \left(\prod_{p \in \mathcal P} \frac 1{1 - p^{-s}}\right) = (1-e^{-1})^{-1} \ln(\zeta (s))

La majoration (1) montre que si s tend vers 1, le terme de droite tend vers l'infini et donc aussi celui de gauche, ce qui démontre la proposition.

 

Calcul pour s égal à 2

Euler parvient à déterminer la valeur de la fonction ζ pour s égal à deux. Le calcul s'obtient très simplement avec l'aide des outils de l'analyse harmonique. Il suffit pour cela d'appliquer l'égalité de Parseval à la transformée de Fourier de la fonction périodique, notée f, de période 2π et égale à l'identité sur [-π, π[. On obtient :

\zeta (2) \ = \ \prod_{p \ \in P} \frac 1{1- p^{-2}} \ = \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2} = \frac {\pi^2}6

Euler établit ainsi une étrange relation entre un produit infini, construit avec des nombres premiers, et l'aire de la surface d'un cercle. Le problème de la sommation de la série associée était connue depuis longtemps sous le nom de Problème de Mengoli. Il fut résolu par Euler[1] en 1735

Démonstration

Calculons les coefficients (cn) de la transformée de Fourier de f. Comme elle est impaire, le coefficient c0 est nul.

Le calcul de cn se traduit, en utilisant une intégration par partie, par :

c_n = \frac 1{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} t \ e^{(-int)} dt = \frac 1{\sqrt {2\pi}}\left[ \frac in t\ e^{(-int)}\right]_{-\pi}^{\pi} - \frac 1{\sqrt {2\pi}}\int_{-\pi}^{\pi} \frac in e^{(-int)} dt = (-1)^n\ \frac {i\sqrt {2\pi}}n

L'égalité de Parseval permet d'établir que :

\sum_{n \in \mathbb Z} c_n \bar {c_n} = 4\pi \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^2} = \int_{-\pi}^{\pi} t^2dt = \frac {2\pi^3}3
 

Autres produits eulériens

Caractère de Dirichlet

Article détaillé : Caractère de Dirichlet.

Dirichlet souhaite démontrer que les nombres premiers dans une classe m de Z/nZ sont en nombre infini, si m et n sont premiers entre eux. Il utilise les caractères portant maintenant son nom et, au cours d'un calcul explicité dans le paragraphe Produit eulérien de l'article détaillé, aboutit sur le produit suivant :

\prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}

Ici χ désigne un caractère de Dirichlet, l'ensemble des caractères est noté \scriptstyle \widehat U et s représente un nombre réel strictement supérieur à un. Dirichlet établit alors une famille de produits Eulériens :

\forall s \in ]1, +\infty[ \quad \forall \chi \in \widehat U \quad L(s, \chi) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\chi(k)}{k^s} \ = \ \prod_{p \in \mathcal P} \Big(1 -\frac {\chi(p)}{p^s}\Big)^{-1}

En effet, la fonction χ est complètement multiplicative, le calcul d'Euler s'applique de la même manière.

  • La fonction L(s, χ) est appelée série L de Dirichlet du caractère χ.

La convergence est absolue si s est un nombre complexe avec une partie réelle > 1. Par prolongement analytique, cette fonction peut être étendue à une fonction méromorphe sur le plan complexe entier.

Les séries L de Dirichlet sont les généralisations directes de la fonction Zeta de Riemann et apparaissent comme prééminente dans l' hypothèse de Riemann généralisée.

Généralisation

En général, une série de Dirichlet de la forme

\sum_{n} a(n)n^{-s}\,

où a(n)\, est une fonction multiplicative de n peut être écrite sous la forme

\prod_{p} P(p,s)\,

où P(p,s)\, est la somme

1 + a(p)p^{-s} + a(p^2)p^{-2s} + \ldots\, .

En fait, si nous considérons ceci comme des fonctions génératrices formelles, l'existence d'un tel développement formel en produit eulérien est une condition suffisante et nécessaire pour que a(n)\, soit multiplicative : ceci dit exactement que a(n)\, est le produit de a(p^k)\, lorsque n factorise le produit de puissances p^k\, des nombres premiers distincts p.

Dans la pratique, tous les cas importants sont tels que la série infinie et le développement en produit infini sont absolument convergents dans une certaine région

Re(s) > C :

c’est-à-dire dans un certain demi-plan droit des nombres complexes. Ceci nous donne déjà quelques informations, puisque le produit infini, pour converger, doit donner une valeur différente de zéro ; donc la fonction donné par la série infinie n'est pas zéro dans un tel demi-plan.

Un cas particulier important est celui dans lequel P(p,s)\, est une série géométrique, car a(n)\, est complètement multiplicative. Alors, nous aurons

P(p,s) = \frac{1}{1 - a(p)p^{-s}}\,

comme c'est le cas pour la fonction zeta de Riemann (avec a(n) = 1\,), et plus généralement pour les caractères de Dirichlet. Dans la théorie des formes modulaires il est typique d'avoir des produits eulérien avec en dénominateur des polynômes quadratiques. Le programme de Langlands général inclut une explication comparative de la connexion de polynômes de degré m, et de la théorie des représentations pour GL_m\,.

Notes et références

Notes

  1. ↑ Leonard Euler Démonstration de la somme de cette suite 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + etc Journal lit. d'Allemagne, de Suisse et du Nord 2 p 115-127 1743

Liens externes

Références

  • Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane La fonction Zêta, Éditions de l'École polytechnique Paris 2002 ISBN 2730210113
  • Harold Davenport's Multiplicative number theory, 3ème edt Springer 2000 ISBN 0387950974
  • Karatsuba Basic analytic number theory, Springer-Verlag 1993 ISBN 0-387-53345-1
  • S. J. Patterson An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function Cambridge University Press 1995 ISBN 0521499054.
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