- Intégration par changement de variable
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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d' intégrales, en analyse.
Sommaire
Principe
C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soient deux fonctions dérivables F,φ et sachant, par la définition d'intégrale, que
alors ce théorème permet d'obtenir
Exemple
Soit à calculer
On pose le changement de variable u = x2 et donc du = 2xdx avec x variant entre
et 
. Par conséquent u varie entre π et 4π.Théorème
Énoncé
Soit f une fonction numérique continue, et φ une fonction de classe
(c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle [a,b] et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f. Alors
Démonstration
La fonction f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction
est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :D'où
![=\left[F\circ \varphi\right]_a^b](9/4698c588620e67f7ee80fc986eecbfdb.png)
- = F(φ(b)) − F(φ(a))
Remarque
Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de f sur
![I=\varphi\bigl([a,b]\bigr)](e/f3e0a5740e447f06f6af4b680f128056.png)
dans le cas où φ est une fonction monotone.- Si φ est croissante, alors
et I est égal à l'intervalle [φ(a),φ(b)]; l'intégrale de f sur I est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas 
.
- Si φ est décroissante, alors
et I devient [φ(b),φ(a)]. L'intégrale de f sur I est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme 
, changer le signe revient dans ce cas à remplacer φ' dans le membre de droite par sa valeur absolue.
On voit ainsi que dans les deux cas on a
C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir ci-dessous).
Changements de variables classiques
- Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
- Pour calculer
![\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}](4/f6426e77581bc653858a1d9e73fc15d1.png)
,
où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
![u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}](5/1a51e26e708191680c1ab84cd5ca58a6.png)
:
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
Cas des intégrales multiples
Lorsque f est une fonction de plusieurs variables, on remplace φ par une transformation Φ bijective, de classe
ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de Φ « à la place » de | φ' | . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne JΦ. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :
.
Voir aussi
Liens externes
Catégorie :- Méthode d'intégration
![\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df= [f]](d/7adfa88909d3fabe3cc279c7b9907de4.png)
![\int (F'\circ\varphi){\mathrm d}\varphi= \int\mathrm d(F\circ\varphi) =[ F \circ \varphi]](c/70c1dc456873d6d2f05a44b53e16adc9.png)
![\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0](5/4e572a22ad8556f50034a749e6b352ce.png)
![\int_{\varphi\bigl([a,b]\bigr)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{[a,b]} f(\varphi(t)) |\varphi'(t)|\,\mathrm dt.](c/79cbcd36658d4eb80786990a86cea9d1.png)
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