Intégration par changement de variable

Intégration par changement de variable
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En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d' intégrales, en analyse.

Sommaire

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soient deux fonctions dérivables F et sachant, par la définition d'intégrale, que

 \int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df= [f]

alors ce théorème permet d'obtenir

 \int (F'\circ\varphi){\mathrm d}\varphi= \int\mathrm d(F\circ\varphi) =[ F \circ \varphi]

Exemple

Soit à calculer

 \int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx

On pose le changement de variable u = x2 et donc du = 2xdx avec x variant entre \sqrt\pi et 2\sqrt\pi. Par conséquent u varie entre π et .

 \int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0

Théorème

Énoncé

Soit f une fonction numérique continue, et φ une fonction de classe \scriptstyle \mathcal C^1 (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) sur un intervalle [a,b] et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de f. Alors


\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)~\mathrm dx=\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt.

Démonstration

La fonction f étant continue, on considère une primitive F de f sur D l'ensemble de définition de f. La fonction F\circ \varphi est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'

D'où

\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt
=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt
=\left[F\circ \varphi\right]_a^b
= F(φ(b)) − F(φ(a))
=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx

Remarque

Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de f sur I=\varphi\bigl([a,b]\bigr) dans le cas où φ est une fonction monotone.

  • Si φ est croissante, alors \varphi(a)\le\varphi(b) et I est égal à l'intervalle [φ(a),φ(b)]; l'intégrale de f sur I est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas \varphi'\ge0.
  • Si φ est décroissante, alors \varphi(a)\ge\varphi(b) et I devient [φ(b),φ(a)]. L'intégrale de f sur I est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme \varphi'\le0, changer le signe revient dans ce cas à remplacer φ' dans le membre de droite par sa valeur absolue.

On voit ainsi que dans les deux cas on a


\int_{\varphi\bigl([a,b]\bigr)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{[a,b]} f(\varphi(t)) |\varphi'(t)|\,\mathrm dt.

C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir ci-dessous).

Changements de variables classiques

  • Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
  • Pour calculer
    \int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x},
    f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
    u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}} :
    le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.

Cas des intégrales multiples

Lorsque f est une fonction de plusieurs variables, on remplace φ par une transformation Φ bijective, de classe \mathcal{C}^1 ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de Φ « à la place » de | φ' | . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne JΦ. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

\iint_{\Phi(T)} f(x,y) \;\mathrm dx\,\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\Phi(u,v)\bigr)\left|\det J_\Phi(u,v)\right|~\mathrm du\,\mathrm dv.

Voir aussi

Liens externes


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