Changement de variable (intégration par)

Intégration par changement de variable

Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable.

En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle-ci ou d'un autre paramètre. Ce procédé est un des outils principaux pour la résolution d'intégrales, en analyse.

Sommaire

1 Principe
- 1.1 Exemple
2 Théorème
- 2.1 Énoncé
- 2.2 Démonstration
3 Changements de variables classiques
4 Cas des intégrales multiples
5 Voir aussi

Principe

C'est la règle d'intégration qui découle du théorème de dérivation des fonctions composées. Soit deux fonctions dérivables $f, g$ et sachant, par la définition d'intégrale, que

$\int f'(x)\mathrm dx = \int\mathrm df(x) = f(x) + C$

alors ce théorème permet d'obtenir

$\int \left( \frac{\mathrm d}{\mathrm d g(x)} f(g(x)) \cdot \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} g(x) \right) \mathrm dx = \int\mathrm d[f \circ g(x)] = f \circ g (x) + C$

Exemple

Soit à calculer

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx$

On pose le changement de variable $u = x 2$ et donc $d u = 2 x d x$ . $x$ varie entre $\sqrt\pi$ et $2\sqrt\pi$ alors $u$ varie entre $π$ et $4π$ .

$\int_{\sqrt\pi}^{2\sqrt\pi} 2x \cos(x^2)\mathrm dx = \int_{\pi}^{4\pi} \cos(u)\mathrm du = [\sin(u)]^{4\pi}_{\pi} = \sin(4\pi)-\sin{\pi}=0-0=0$

Théorème

Énoncé

Soit $f$ une fonction numérique continue, et $\varphi$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ (c'est-à-dire dérivable et dont la dérivée est continue) et injective sur un intervalle $[a, b]$ et dont l'image est contenue dans le domaine de définition de $f$ .

Alors

$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt$

avec

$x=\varphi(t)$

Démonstration

La fonction $f$ étant continue, on considère une primitive $F$ de $f$ sur $D$ l'ensemble de définition de $f$ . La fonction $F\circ \varphi$ est alors dérivable, comme composée de deux fonctions dérivables et on a :

$(F\circ\varphi)'=(f\circ \varphi) \times \varphi'$

D'où

$\int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,\mathrm dt=\int_{a}^{b} ((f\circ \varphi) \times \varphi')(t)\,\mathrm dt$

$=\int_{a}^{b} (F\circ \varphi)'(t)\,\mathrm dt$

$=\left[F\circ \varphi\right]_a^b$

$=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))$

$=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm dx$

Changements de variables classiques

Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
Pour calculer
$\int{f\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}\right)\mathrm{\mathrm d}x}$ ,
où $f$ est une fraction rationnelle en deux variables, $n$ un entier naturel et $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre réels donnés, on pose
$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+\mathrm d}}$ :
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en $u$ ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.

Cas des intégrales multiples

Losque $f$ est une fonctions de plusieurs variables, outre le changement du domaine d'intégration on utilise le jacobien de la transformation « à la place » de $\varphi'$ . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

$\iint_D f(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_T f\bigl(\phi(u,v),\Psi(u,v)\bigr)\left|\frac{\part(\phi,\Psi)}{\part(u,v)}(u,v)\right|~\mathrm du\mathrm dv$ .

Voir aussi

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Int%C3%A9gration par changement de variable ».

Catégorie : Méthode d'intégration

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Changement de variable (intégration par) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

Changement De Variable (Intégration Par) — Intégration par changement de variable Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable. En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre… … Wikipédia en Français
Integration par changement de variable — Intégration par changement de variable Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable. En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre… … Wikipédia en Français
Intégration Par Changement De Variable — Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable. En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle ci ou d un autre… … Wikipédia en Français
Intégration par changement de variables — Intégration par changement de variable Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable. En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre… … Wikipédia en Français
Intégration par changement de variable — Pour les articles homonymes, voir Intégration et Changement de variable. En mathématiques, le changement de variable est un procédé qui consiste à remplacer une variable ou même une fonction par une autre fonction de celle ci ou d un autre… … Wikipédia en Français
Intégration (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir intégration. interprétée comme l’aire sous la courbe de f … Wikipédia en Français
Intégration européenne — Union européenne Pour les articles homonymes, voir Europe (homonymie) et UE (homonymie). Union européenne (*) … Wikipédia en Français
Intégration des immigrés — Immigration Solde migratoire en 2008 Solde migratoire positif … Wikipédia en Français
Théorie de l'intégration — Intégration (mathématiques) Wikipédia … Wikipédia en Français
Intégration politique de l'Inde — Cet article fait partie de la série Histoire de l Inde Périodes Inde ancienne Sultanat de Delhi … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Changement de variable (intégration par)

Intégration par changement de variable

Sommaire