Indice d'un groupe

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Définition

Soit $G$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe de $G$ et $t$ un nombre naturel strictement positif. Selon le Théorème de Lagrange, on sait que la cardinalité de $H$ divise la cardinalité de $G$ :

$\mbox{card}(H) \mid \mbox{card} (G)$ .

En d'autres termes, on peut aussi écrire :

$\mbox{card} (G) = \mbox{card} (H) \times t$ .

Ce nombre naturel $t$ est justement nommé « l'indice de $H$ dans $G$ ». Cet indice est noté :

t = [G : H]

d'où l'écriture du Théorème de Lagrange :

$\mbox{card} (G) = \mbox{card} (H) \times [G:H]$ .

Exemple

Calculons $[\mathbb Z_{10}:\langle\overline 2\rangle ]$ , où $\langle\overline 2\rangle$ est le sous-groupe de $\mathbb Z_{10}$ généré par la classe d'équivalence de 2 $(m o d 10)$ . Ici, l'opération est l'addition usuelle des nombres entiers.

Il faut d'abord trouver la cardinalité de chacun des deux groupes :

On sait que $\mathbb Z_{10}$ est formé de 10 éléments $\{\overline 0 , \overline 1 , \overline 2 , \overline 3 , \overline 4 , \overline 5 , \overline 6 , \overline 7 , \overline 8 , \overline 9 \}$ .

Pour ce qui est de $\langle\overline 2\rangle$ , on doit trouver tous les éléments formant le groupe :

$\overline 2 = \overline 2$

$\overline 2 + \overline 2 = \overline 4$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 6$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 8$

$\overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 + \overline 2 = \overline 0$ .

Ainsi, le groupe généré par $\langle\overline 2\rangle$ contient 5 éléments.

Il ne reste qu'à diviser $\mbox{card} (\mathbb Z_{10})$ par $\mbox{card} (\langle\overline 2\rangle)$ , sachant que ces cardinalités sont respectivement 10 et 5.

∴ On a $[\mathbb Z_{10}:\langle\overline 2\rangle ] = 2$ .

Voir aussi

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