Groupe quotient

Dans l'étude des groupes, le quotient d'un groupe est une opération classique permettant la construction de nouveaux groupes à partir d'anciens. À partir d'un groupe G et d'un sous-groupe H de G, on peut définir une loi de groupe sur l'ensemble G/H des classes de G suivant H, à condition que H soit stable par les automorphismes intérieurs de G , c'est-à-dire que les classes latérales droites soient égales aux classes latérales gauches (gH = Hg). Un tel sous-groupe est appelé sous-groupe normal ou sous-groupe distingué.

Partition d'un groupe en classes modulo un sous-groupe

Étant donné un élément , nous définissons la classe à gauche . Comme g est inversible, l'ensemble gH a le même cardinal que H. De plus, tout élément de G appartient à exactement une seule classe à gauche de H ; l'ensemble des classes à gauche sont des classes d'équivalence correspondant aux classes d'équivalence de la relation d'équivalence définie par g₁ ~ g₂ si et seulement si . Le nombre de classes à gauche de H est appelé l'indice de H dans G et est noté [G:H]. Dans le cas d'un groupe fini, le théorème de Lagrange sur la cardinalité des sous-groupes, et la formule des classes permettent de voir que cet indice est fini et est un diviseur de l'ordre du groupe G.

Les classes à droite sont définies de manière analogue: . Elles sont aussi les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence convenable et leur cardinal est égal à [G:H].

Définition

Si pour tout , gH = Hg, alors H est appelé un sous-groupe distingué ou normal ou invariant. Dans ce cas, nous définissons une multiplication sur les classes par

Cela donne à l'ensemble des classes une structure de groupe ; ce groupe est appelé groupe quotient (ou parfois groupe des facteurs) noté G / H. L'application est alors un homomorphisme de groupe. L'image directe f(H) n'est constituée que de l'élément neutre de G / H, à savoir la classe eH = H. L'application f est appelé morphisme canonique ou projection canonique.

Exemples

• Considérons l'ensemble des entiers relatifs et le sous-groupe constitué des entiers pairs. Alors le groupe quotient est constitué de deux éléments, représentant la classe des nombres pairs et la classe des nombres impairs.
• L'ensemble des nombres réels, considéré comme groupe additif, et son sous-groupe permettent de définir un groupe quotient utilisé pour la mesure des angles orientés.

Propriétés

• G / G est isomorphe au groupe trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.
• Si H est distingué, l'application est un morphisme surjectif, appelé projection canonique, de noyau H.
• Plus généralement, si est un morphisme de groupes, il existe une suite exacte :

• Si G est abélien, cyclique, nilpotent ou résoluble, il en sera de même pour G / H.

Factorisation des morphismes

On peut caractériser les groupes quotients par la propriété fondamentale suivante :

Soit un morphisme de groupe. Soit H le noyau de f. Alors H est distingué et f se « factorise » en un morphisme injectif tel que , où p est la projection de G sur G / H.

Voir aussi

Articles connexes

• Théorèmes d'isomorphisme
• Ensemble quotient

Lien externe

• congruence modulo un sous-groupe

• Portail des mathématiques