Similitude directe

Similitude directe

Similitude (géométrie)

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Les objets de même couleur sont semblables.

En géométrie, une similitude est une transformation qui, à toute figure, fait correspondre une figure semblable, c'est-à-dire de même forme.

Ainsi, par une similitude, tout carré a pour image un carré, tout triangle équilatéral un triangle équilatéral, tout cercle a pour image un cercle, etc.

Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude (Cf. Théorème d'Abouabdillah)

Sommaire

Équivalence essentielle et définitions

Pour toute transformation f du plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes.

  • f multiplie les distances par un réel strictement positif k ;
  • f conserve les rapports de distances ;
  • f conserve les angles géométriques (c'est-à-dire les mesures d'angles non orientés).

Une transformation du plan qui vérifie ces propositions est appelée une similitude du plan. Le nombre k est appelé le rapport de la similitude f.

Une similitude qui conserve les angles orientés est appelée similitude directe.

Exemples

Les similitudes de rapport 1 sont appelées isométries (notamment les rotations, translations, réflexions).

Les homothéties sont des similitudes. Il faut noter l'ambiguïté du mot rapport : le rapport d'une homothétie concerne des vecteurs, celui d'une similitude les distances. Ainsi, une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.

Étude par les points fixes

  • Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
  • Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).
  • Une similitude directe qui admet deux points fixes distincts est donc l'identité.

On peut donc classer les similitudes directes suivant le nombre de leurs points fixes :

  • l'identité, pour laquelle tous les points du plan sont fixes ;
  • les similitudes directes sans point fixe ;
  • les similitudes directes avec un unique point fixe, qu'on appelle alors le centre de la similitude.

Similitudes planes directes

Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre.

Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.

Forme complexe

Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par z' = az + b, où a et b sont des complexes, a non nul. Le rapport de la similitude est alors | a | , son angle arg(a).

Cas spéciaux :

  • Dans le cas où a = 1, la similitude est une translation.
  • Dans le cas où a = − 1, la similitude est une symétrie centrale de centre \Omega \left(\frac b 2\right). On peut aussi la considérer comme une rotation de centre \Omega \left(\frac b 2\right) et d'angle π, ou encore une homothétie de centre \Omega (\frac{b}{2}) et de rapport k = − 1.
  • Dans le cas où a \in \mathbb{R*}\ -\left \{ 1 \right \} , alors la similitude est une homothétie de centre \Omega \left(\frac{b}{1-a}\right) et de rapport a.

Définition par deux points et leurs images

Soient A, B, A^\prime, B^\prime quatre points du plan tels que : A \neq B et A' \neq B'. Il existe une unique similitude directe S tel que S(A)=A^\prime et S(B)=B^\prime

Similitudes planes indirectes

Toute similitude non directe est la composée d'une similitude directe et d'une réflexion.

Forme complexe

La traduction d'une similitude indirecte s'exprime par z' = a \bar{z} + b, où a et b sont complexes, a non nul.

Le groupe des similitudes

La composée de deux similitudes f et g est une similitude, dont le rapport est le produit des rapports de f et g. Dans le cas de deux similitudes directes, on a : S_{(\Omega,k,\theta)} \circ S_{(\Omega',k',\theta ')} = S_{(\Omega'',kk',\theta+\theta ')}

La transformation réciproque d'une similitude f est une similitude, de rapport : l'inverse du rapport de f. Pour une similitude directe, on a : S^{-1}_{(\Omega,k,\theta)} = S_{(\Omega,\frac{1}{k},- \theta)}.

L'ensemble des similitudes du plan, muni de la loi de composition est donc un groupe, dont deux sous-groupes sont : le groupe des similitudes directes et le groupe des isométries (dont un sous-groupe est le groupe des déplacements).

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