Fonction zêta de Dedekind

En mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres $\mathbb{K}$ , et notée

$\zeta_K(s)\,$

où s est une variable complexe. C'est la somme infinie

$\sum (NI)^{-s}\,$

prise sur tous les idéaux I de l'anneau des entiers $O_K\,$ de K, avec $I \ne {0}\,$ , où

$NI\,$

exprime la norme de I (dans le corps rationnel Q). Ceci est égal à la cardinalité de

$O_K/I\,$ ,

en d'autres mots, le nombre de classes de résidus modulo I. Dans le cas $\mathbb{K} = \mathbb{Q}$ cette définition se réduit à la fonction zêta de Riemann.

Les propriétés de $\zeta_K(s)\,$ comme une fonction méromorphe ont une signification considérable dans la théorie algébrique des nombres. Elle possède un produit eulérien, avec un facteur pour un nombre premier donné p, le produit pris sur tous les idéaux premiers P de O_K divisant p de

$(1 - (NP)^{-s})^{-1}\,$ .

Ceci est l'expression en termes analytiques de l'unicité de la factorisation en nombres premiers des idéaux I.

Il est connu (démontré en général en premier par Erich Hecke) que $ζ K (s)$ a un prolongement analytique dans le plan complexe entier en fonction méromorphe, ayant un pôle simple seulement à s = 1. Le résidu à ce pôle est une quantité importante, impliquant les invariants du groupe des unités et du groupe des classes de K. Il existe une équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Dedekind, en reliant ses valeurs à s et 1 − s.

Pour le cas dans lequel K est une extension abélienne de Q, sa fonction zêta de Dedekind peut être écrite comme un produit de fonctions L de Dirichlet. Par exemple, quand K est un corps quadratique ceci montre que le rapport

$\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_Q(s)}\,$

est une fonction L

$L(s,\chi)\,$

où $\chi\,$ est un symbole de Jacobi comme caractère de Dirichlet. Ceci est une formulation de la loi de réciprocité quadratique.

En général si K est une extension galoisienne de Q avec un groupe de Galois G, sa fonction zêta de Dedekind possède une factorisation comparable en termes de fonctions L d'Artin. Celles-ci sont attachées aux représentations linéaires de G.

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