Symbole de Jacobi

Symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien allemand Charles Gustave Jacob Jacobi.

Sommaire

Définition

Le symbole de Jacobi est une généralisation du symbole de Legendre utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre du dessous. Sa définition est la suivante :

Soit n un entier impair supérieur à 2 et n = p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} la décomposition de n en facteurs premiers. Alors, pour tout entier a, le symbole de Jacobi \left(\frac{a}{n}\right) vaut : \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}

Propriétés du symbole de Jacobi

Le symbole de Jacobi possède de très nombreuses propriétés :

  1. Si n est premier, le symbole de Jacobi et le symbole de Legendre sont égaux,
  2. \left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}
  3. \left(\frac{a}{n}\right) = 0 si et seulement si a et n ne sont pas premiers entre eux,
  4. \left(\frac{ab}{n}\right) = \left(\frac{a}{n}\right)\left(\frac{b}{n}\right) si n est impair.
  5. si a ≡ b (mod n) alors \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{b}{n}\right) si n est impair.
  6. \left(\frac{1}{n}\right) = 1
  7. \left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n-1}{2}\right)} vaut 1 si n ≡ 1 (mod 4) et −1 si n ≡ 3 (mod 4)
  8. \left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\left(\frac{n^2-1}{8}\right)} vaut 1 si n ≡ 1 (mod 8) ou n ≡ 7 (mod 8) et −1 si n ≡ 3 (mod 8) ou n ≡ 5 (mod 8)
  9. \left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right)(-1)^{\left(\frac{m-1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}\right)} si m et n sont impairs, autrement dit \left(\frac{m}{n}\right) = \left(\frac{n}{m}\right) sauf si m et n sont tous deux congrus à -1 (mod 4) auquel cas \left(\frac{m}{n}\right) = -\left(\frac{n}{m}\right)

La dernière propriété est une généralisation de la loi de réciprocité quadratique utilisant le symbole de Legendre.

Résidus

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi. Cependant, si \left(\frac{a}{n}\right) = -1 alors a n'est pas un résidu quadratique de n puisque a n'est pas le résidu quadratique d'un des pk divisant n.

Dans le cas où \left(\frac{a}{n}\right) = 1, il est impossible de dire si a est un résidu quadratique de n. Puisque le symbole de Jacobi est un produit de symboles de Legendre, il y a des cas où deux symboles de Legendre sont égaux à −1 et le symbole de Jacobi est égal à 1.

Lien externe

(en) Calcul du symbole de Jacobi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Symbole de Jacobi de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Symbole de jacobi — Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien allemand Charles Gustave Jacob Jacobi. Sommaire 1 Définition 2 Propriétés du symbole de Jacobi …   Wikipédia en Français

  • Symbole de legendre — Le symbole de Legendre est une notation utilisée par les mathématiciens, en théorie des nombres, particulièrement dans les domaines de la factorisation et des résidus quadratiques. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien français Adrien… …   Wikipédia en Français

  • Symbole de Legendre — Le symbole de Legendre est une notation utilisée par les mathématiciens, en théorie des nombres, particulièrement dans les domaines de la factorisation et des résidus quadratiques. Il est nommé ainsi en l honneur du mathématicien français Adrien… …   Wikipédia en Français

  • Jacobi — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Patronyme Jacobi est un nom de famille notamment porté par : Johann Georg Jacobi (1740 1814), poète allemand ; Friedrich Heinrich Jacobi (1743… …   Wikipédia en Français

  • Jacobi-Polynom — Die Jacobi Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm Liouville Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [ 1,1] bezüglich der …   Deutsch Wikipedia

  • Nombre Pseudopremier D'Euler-Jacobi — Un nombre entier impair composé n est appelé pseudopremier d Euler Jacobi de base a, si a et n sont premiers entre eux, et où est le symbole de Jacobi. Cette définition est motivée par le fait que tous les nombres premiers n satisfont l équation… …   Wikipédia en Français

  • Nombre pseudopremier d'euler-jacobi — Un nombre entier impair composé n est appelé pseudopremier d Euler Jacobi de base a, si a et n sont premiers entre eux, et où est le symbole de Jacobi. Cette définition est motivée par le fait que tous les nombres premiers n satisfont l équation… …   Wikipédia en Français

  • Pseudopremier d'Euler-Jacobi — Nombre pseudopremier d Euler Jacobi Un nombre entier impair composé n est appelé pseudopremier d Euler Jacobi de base a, si a et n sont premiers entre eux, et où est le symbole de Jacobi. Cette définition est motivée par le fait que tous les… …   Wikipédia en Français

  • Charles Gustave Jacob Jacobi — Pour les articles homonymes, voir Jacobi. Charles Gustave Jacob Jacobi Charles Gustave Jacob Jacobi (Carl Gustav Jakob Jacobi) Naissance …   Wikipédia en Français

  • Nombre pseudopremier d'Euler-Jacobi — Un nombre entier impair composé n est appelé pseudopremier d Euler Jacobi de base a, si a et n sont premiers entre eux, et où est le symbole de Jacobi. Cette définition est motivée par le fait que tous les nombres premiers n satisfont l équation… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”