- Fonction de masse (probabilités)
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En théorie des probabilités, la fonction de masse[1] (ou encore loi de probabilité) est la fonction qui donne la probabilité pour qu'une variable aléatoire discrète soit exactement égale à une valeur donnée. Une fonction de masse se distingue d'une densité de probabilité en ceci que les densités de probabilité ne sont définies que pour des variables aléatoires continues, et que c'est leur intégrale sur un domaine qui a valeur de probabilité (et non leurs valeurs elles-mêmes).
Sommaire
Description mathématique
Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs sur un espace de valeurs dénombrables S ⊆ R. Alors, la fonction de masse fX(x) pour X est donnée par
Les valeurs fX(x) sont définies pour toutes les valeurs réelles, y compris celles qui ne sont jamais prises par X ; ces valeur se voient simplement assigner une probabilité nulle.
La fonction de masse doit par ailleurs se sommer à l'unité:
Utilisations
La fonction de masse permet:
- de calculer la fonction de répartition et, plus généralement, d'évaluer la probabilité d'un événement aléatoire. Il s'agit pour cela de décomposer cet événement en événements élémentaires et de sommer leur probabilités données par la fonction de masse;
- calculer les moments de la variable aléatoire X. Par exemple, l'espérance se donne par
et la variance par
sous condition de convergence de ces séries.
Exemples
Soit X le résultat d'un lancer à pile ou face, identifiant 0 à pile et 1 à face ; la probabilité que X = x est de 0,5 sur l'espace des états {0, 1} (c'est une distribution de Bernoulli) ; la fonction de masse est
On constate que la somme des valeurs de la fonction de masse sur le support est bien égale à l'unité.
On peut définir des fonctions de masse pour toutes les variables aléatoires discrètes, comme les variables de distribution uniforme, binomiale, binomiale négative, géométrique, hypergéométrique, ou de Poisson.
Notes et références
- Il s'agit d'une traduction littérale du terme anglais mass function
- Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp A. (1993), Univariate Discrete Distributions (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (p. 36)
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