Fonction de Dirac

Distribution de Dirac

La distribution de Dirac, aussi appelée par abus de langage fonction δ de Dirac, introduite par Paul Dirac, peut être informellement considérée comme une fonction δ qui prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout ailleurs, et dont l'intégrale sur $\mathbb R$ est égale à 1. La représentation graphique de la fonction δ peut être assimilée à l'axe des abscisses en entier et le demi axe des ordonnées positives. D'autre part, δ correspond à la « dérivée » de la fonction de Heaviside (au sens des distributions). Mais cette fonction de Dirac n'est pas une fonction, elle étend la notion de fonction.

La fonction δ de Dirac est très utile comme approximation de fonctions dont la représentation graphique a la forme d'une grande pointe étroite. C'est le même type d'abstraction qui représente une charge ponctuelle, une masse ponctuelle ou un électron ponctuel. Par exemple, pour calculer la vitesse d'une balle de tennis, frappée par une raquette, nous pouvons assimiler la force de la raquette frappant la balle à une fonction δ. De cette manière, nous simplifions non seulement les équations, mais nous pouvons également calculer le mouvement de la balle en considérant seulement toute l'impulsion de la raquette contre la balle, plutôt que d'exiger la connaissance des détails de la façon dont la raquette a transféré l'énergie à la balle.

Par extension, l'expression « un Dirac » est donc souvent utilisée par les physiciens pour désigner une fonction ou une courbe « piquée » en une valeur donnée.

Sommaire

1 Introduction formelle
2 Convolution
3 Transformée de Fourier
4 Dérivée
5 Représentations de la fonction δ
6 Applications
- 6.1 Probabilités
- 6.2 Analyse des enregistrements

Introduction formelle

(On se place dans $\mathbb{R}^n$ )

La fonction δ de Dirac est la mesure borélienne qui ne charge que le singleton {0}: $\delta(\{0\})=1,\, \delta(Q)=0\quad (\text{Q est un segment/cube qui ne contient pas 0})$

Soit A un borélien. Un calcul direct établit que $δ$ est bien une mesure de Borel, la seule vérifiant:

- Si A content 0: $\delta(A)=1 \text{ i.e } \int {1}_A \mathrm{d}\delta = 1$

- Sinon: $\delta(A)=0 \text{ i.e } \int {1}_A \mathrm{d}\delta = 0$

Comme toute fonction mesurable f est limite simple de fonction étagées, on a:

$\int f \mathrm{d}\delta = f(0)$

Du point de vue radonien, on donne: $\delta: \mathcal{C}_c (\mathbb{R}^n) \rightarrow \mathbb{R}, \, f \rightarrow f(0)$ .

Soit $K$ un compact: La restriction d'une telle forme linéaire sur $\mathcal{C}_K(\mathbb{R}^n)$ est clairement continue (δ est donc bien une mesure de Radon), de norme 1. En effet:

$\sup \left\{ | f(0) |: \, \| f\|_\infty =1 \right\} =1$

Nous pouvons alors voir δ comme une distribution d'ordre 0:

$\delta: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R} , \, \phi\rightarrow \phi(0)$ est une forme linéaire telle que:

$\forall K \text{ compact}:\, | \delta(\phi)| \leqslant \| \phi \|_0 \quad (\phi \in \mathcal{D}_K )$

(Rappelons que $\|.\|_0$ note la norme $\|.\|_\infty$ dans le contexte des distributions)

Appliquons la définition du support d'une distribution: $spt δ = {0}$ est compact. Par suite, $δ$ est temperée

Autres présentations(sur $\mathbb{R}$ ):

Tout élément $[f]$ de ${L}^1_\text{loc}(\mathbb{R})$ (c'est-à-dire localement intégrable au sens de Lebesgue) s'identifie à une forme linéaire

$\forall\phi \in C_c(\mathbb{R}),\ \langle f, \phi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\phi(x) \, dx .$

Par analogie, on définit δ par l'égalité suivante :

$\forall\phi \in C_c(\mathbb{R}),\ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \, \phi(x)\, dx = \phi(0).$

Le seul être mathématique δ qui vérifie rigoureusement cette équation est une mesure. C'est pourquoi l'existence de δ a un sens dans le cadre mathématique des distributions. En définissant les fonctions $δ n$ par : $δ n (x) = n$ pour $\ \textstyle|x|<\frac1n\$ et $\ \delta_n(x)=0\$ partout ailleurs, nous avons :

$\forall\phi \in C_c(\mathbb{R}),\ \lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(x) \, \delta_n(x)\,dx\ = \phi(0).$

La suite $δ n$ converge au sens faible vers δ.

Ainsi, par abus de langage, on dit que la fonction δ de Dirac est nulle partout sauf en 0, où sa valeur infinie correspond à une « masse » de 1, c'est à dire qu'elle correspond à une mesure qui à un sous-ensemble de R associe 0 si 0 n'est pas dans le sous-ensemble et 1 sinon.

Cette distribution peut aussi être vue comme la dérivée, au sens des distributions, de la fonction de Heaviside.

Donnons $T_H( \phi)\!:=\int H\phi \quad (\phi\in\mathcal{D})$ . Alors

$T_H'( \phi)= -T_H( \phi')=-\int H\phi'= -[\phi]_0^\infty = \phi(0)=\delta(\phi)$

Convolution

δ est l'élément neutre de la convolution:

$(\delta\ast \phi )(x)\!:= \delta \left(\phi (x-\cdot)\right) = \phi(x-0) \quad (x\in \mathbb{R}^n)$

D'où: $\delta\ast \phi =\phi$

Cette propriété est abondamment utilisée en traitement du signal. On dit qu'un signal correspondant à une distribution de Dirac a un spectre blanc. C’est-à-dire que chaque fréquence est présente avec une intensité identique. Cette propriété permet d'analyser la réponse fréquentielle d'un système sans avoir à balayer toutes les fréquences.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction δ de Dirac s'identifie à la fonction constante 1 :

$\langle \hat{\delta}, \phi\rangle \!:=\langle {\delta}, \hat{\phi}\rangle \,=\hat{\phi}(0)= \int \phi(x)e^{i0x}\mathrm{d}x = \int 1\cdot \phi(x)\mathrm{d}x \quad (\phi\in\mathcal{S})$

Conséquence:

$\langle \hat{1}, \phi\rangle = \langle \check{\delta}, \phi\rangle =\langle {\delta}, \check{\phi}\rangle \,=\check{\phi}(0)=\phi(0)=\langle {\delta}, \phi\rangle$

ainsi $δ$ est le Fourier de $1$ .

Dérivée

La dérivée de la fonction δ de Dirac est la distribution δ' définie par :

pour toute fonction de test φ, $\langle\delta', \phi\rangle \!:= -\phi'(0)$

Plus généralement, on a la dérivée n-ième de δ, δ ⁽ⁿ⁾:

$\langle\delta^{(n)}, \phi\rangle \!:= (-1)^n \phi^{(n)}(0)$

Les dérivées de δ de Dirac sont importantes parce qu'elles apparaissent dans la transformation de Fourier des polynômes.
Une identité utile est

$\delta(g(x)) = \sum_{i}\frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}$

où les $x i$ sont les racines (supposées simples) de la fonction g(x). Elle est équivalente à la forme intégrale :

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}$

Représentations de la fonction δ

Généralités

La fonction δ peut être regardée comme limite d'une suite (δ_a) de fonctions

$\delta (x) = \lim_{a\to 0} \delta_a(x),$

Certains appellent de telles fonctions δ_a des fonctions « naissantes » de δ.

Celles-ci peuvent être utiles dans des applications spécifiques.
Mais si la limite est employée de manière trop imprécise, des non-sens peuvent en résulter, comme d’ailleurs dans n'importe quelle branche de l’analyse en mathématique.

La notion d’approximation de l’unité, a une signification particulière en analyse harmonique, en rapport avec la limite d’une suite qui converge vers un élément neutre pour l'opération de convolution (sur des groupes comme par exemple le groupe unité). Ici l’hypothèse est faite que la limite est celle d’une suite de fonctions positives.

Notation

Dans certains cas, on utilise une fonction décentrée de Dirac, et elle est notée:

$\delta_d (x) = \delta (x-d)~$

Voir par exemple : produit de convolution.

Exemple élémentaire

Pour les "non-mathématiciens", la «dérivation» de la fonction de Heaviside ou fonction unité, ou fonction échelon, qui conduit au deuxième exemple donné dans le paragraphe suivant, offre une bonne introduction à la fonction de Dirac ou impulsion.

Pour cela, on considère une suite de fonctions définies par

$H_a(x-x_0) = 0 \mbox{ si } x \le x_0-a$

$H_a(x-x_0) = {1 \over 2} (1 + {x - x_0\over a}) \mbox{ si } x > x_0-a \mbox{ et } x < x_0 + a$

$H_a(x-x_0) = 1 \mbox{ si } x \ge x_0+a$

Les dérivées δ_a(x) valent 1 / 2a entre x₀-a et x₀+a : l'aire enfermée par la courbe vaut 1.

A partir de là, on peut écrire

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_a(x-x_0) dx = \lim_{a \to 0} \int_{x_0-a}^{x_0+a} f(x) {1 \over 2a} dx$

Il existe donc un nombre c compris entre x₀-a et x₀+a tel que

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta_a(x-x_0) dx = \lim_{a \to 0} \int_{x_0-a}^{x_0+a} f(c) {1 \over 2a} dx$

Cette expression se réduit à f(c) qui tend vers f(x₀) lorsque a tend vers 0, ce qui démontre pour la fonction de Dirac l'équation de définition de la distribution de Dirac :

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \delta(x-x_0) dx = f(x_0)$

Autres exemples

Quelques fonctions de limite δ lorsque a→0 sont :

$\delta_a(x) = \frac{1}{\pi} {a \over a^2 + x^2}$

$\delta_a(x) = \begin{cases} \frac{1}{2a}, & \text{si } -a < x < a \\ 0, & \text{sinon} \end{cases}$

$\delta_a(x)=\frac{1}{a\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/a^2}$

$\delta_a(x)=\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x/a}} =-\partial_x \frac{1}{1+\mathrm{e}^{x/a}}$

$\delta_a(x)=\frac{a}{\pi x^2}\sin^2\left(\frac{x}{a}\right)$

$\delta_a(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{a}\right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-1/a}^{1/a} \cos (k x)\;dk$

$\delta_a(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x-a |k|}\;dk$

$\delta_a(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a x^2 + \mathrm{i} k x }\;dk$

On trouvera un résultat général de convergence vers la mesure de Dirac dans la section 'mesures équinormales' de l'article Mesures secondaires

Applications

La distribution de Dirac sert en physique à décrire des événements ponctuels. Pour les besoins du formalisme quantique, Dirac a introduit un objet singulier, qu'on appelle aujourd'hui impulsion de Dirac, notée $δ(t)$ . En outre, cette impulsion représente un signal de durée théoriquement nulle et d'énergie finie.

Probabilités

Une densité de probabilité, par exemple celle de la loi normale, est représentée par une courbe qui enferme une aire égale à 1. Si on fait tendre sa variance vers 0, on obtient à la limite un delta qui représente la densité de probabilité d'une variable certaine avec la probabilité 1. Il s'agit là d'une curiosité qui présente un intérêt pratique limité mais elle se généralise d'une manière intéressante.

La manière la plus simple pour décrire une variable discrète qui prend des valeurs appartenant à un ensemble dénombrable consiste à utiliser sa fonction de probabilité qui associe une probabilité à chacune des valeurs. On peut aussi considérer une pseudo-densité de probabilité constituée par une somme de fonctions de Dirac associées à chacune des valeurs avec un poids égal à leurs probabilités. Dans ces conditions, les formules intégrales qui calculent les espérances des variables continues s'appliquent aux variables discrètes en tenant compte de l'équation rappelée ci-dessus.

Analyse des enregistrements

Pour déterminer le contenu de l'enregistrement d'un phénomène physique en fonction du temps, on utilise généralement la transformation de Fourier.

$TF(f(x)) = F(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, e^{-2\pi i \nu x}\, dx$

On peut noter la transformée de Fourier de la fonction de Dirac :

$TF({\delta}(x)) = \int_{-\infty}^{+\infty} \, {\delta}(x)e^{-2\pi i \nu x}\, dx = 1$

De nos jours, les enregistrements analogiques continus de phénomènes physiques ont cédé la place à des enregistrements numériques échantillonnés avec un certain pas de temps. On utilise dans ce domaine la Transformée de Fourier discrète qui est une approximation sur une certaine durée d'échantillonnage.

La multiplication d'une fonction continue par un «peigne de Dirac», somme de deltas équidistants, a une transformée de Fourier égale à l'approximation de celle de la fonction d'origine par la méthode des rectangles. En utilisant un développement en série de Fourier du peigne, on montre que le résultat donne la somme de la transformée vraie et de toutes ses translatées par la fréquence d'échantillonnage. Si celles-ci empiètent sur la transformée vraie, c'est-à-dire si le signal contient des fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, le spectre est replié. Dans le cas contraire il est possible de reconstituer exactement le signal par la formule de Shannon.

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